für welche λ ist reelle Matrix invertierbar, Zeilenumformungen

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie, für welche λ ∈ ℝ die reelle Matrix

A_λ=\( \begin{pmatrix} 1 & λ & 0 & 0 \\ λ & 1 & 0 & 0 \\ 0 & λ & 1 & 0 \\ 0 & 0 & λ & 1 \end{pmatrix} \)

invertierbar ist, und berechnen Sie für diese Werte von λ die inverse Matrix A_λ^-1.

Problem/Ansatz:

Ich weiß, dass ich die Matrix in Zeilenstufenform bringen muss (durch elementare Zeilenumformungen), aber ich kriege es nicht hin, da ich das λ in der zweiten Zeile nicht wegbekomme.

Eventuell bekomme ich dann den Rest der Aufgabe alleine hin...

Comments

Für \(\lambda = 0\) ist die Matrix sicher invertierbar, also betrachtest du im Weiteren einfach \(\lambda\ne 0\) und subtrahierst dann das \(\lambda\)-Fache der ersten Zeile von der zweiten Zeile.

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Oh, da stand ich wohl auf dem Schlauch, danke.

Aber wie kommt man jetzt von  A_λ=\( \begin{pmatrix} 1 & λ & 0 & 0 \\ 0 & 1-λ*λ & 0 & 0 \\ 0 & λ & 1 & 0 \\ 0 & 0 & λ & 1 \end{pmatrix} \) auf die Zeilenstufenform?
Vermutlich stehe ich schon wieder auf dem Schlauch, aber mir fällt keine Umformung ein...

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Es ist \(\det A_\lambda=\det A_\lambda^\top=\begin{vmatrix}1&\lambda\\\lambda&1\end{vmatrix}\cdot\begin{vmatrix}1&\lambda\\0&1\end{vmatrix}=1-\lambda^2.\) Also ist \(A_\lambda\) für alle \(\lambda\in\mathbb R\setminus\lbrace-1,1\rbrace\) invertierbar.

Answer 1

Hm,

ich liste mal die einzelnen Schritte in Elementarmatrizen auf , a=λ

\(\scriptsize\left\{ \left(\begin{array}{rrrr}1&0&0&0\\0&\frac{-1}{a^{2} - 1}&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{array}\right), \left(\begin{array}{rrrr}1&\frac{a}{a^{2} - 1}&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{array}\right), \left(\begin{array}{rrrr}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&-a&1\\\end{array}\right), \left(\begin{array}{rrrr}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&\frac{a}{a^{2} - 1}&1&0\\0&0&0&1\\\end{array}\right), \left(\begin{array}{rrrr}1&0&0&0\\-a&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{array}\right) \right\} \)

daraus kann man ablesen...

Answer 2

Aloha :)

Eine quadratische Matrix ist genau dann invertierbar, wenn ihre Determinante ungleich Null ist. Bei der Determinante hier können wir rechts oben einen quadratischen Block erkennen, der aus lauter Nullen besteht. Dadurch wird die Berechnung der Determinante sehr erleichtert. Wir brauchen nur das Produkt der Determinanten entlang der "Hauptdiagonalen" zu multiplizieren:

$$\left|\begin{array}{rr|rr}1 & \lambda & 0 & 0\\ \lambda & 1 & 0 & 0\\\hline0 & \lambda & 1 & 0\\0 & 0 & \lambda & 1\end{array}\right|=\left|\begin{array}{rr}1 & \lambda\\\lambda & 1\end{array}\right|\cdot\left|\begin{array}{rr}1 & 0\\\lambda & 1\end{array}\right|=(1-\lambda^2)\cdot1=(1-\lambda)(1+\lambda)$$Die Matrix ist also für alle \(\lambda\ne\pm1\) invertierbar.