Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass keine Flasche weniger als 495 ml enthält? - Formel von Bernoulli

Question

Aufgabe:

Beim maschinellen Abfüllen von Halbliter-Flaschen wird der ,,Sollwert" von 0,5 l nicht immer genau eingehalten. Der Hersteler garantiert aber, dass 98 % der Flachen mindestens 495 ml enthalten. Von den abgefüllten Flascshen wird eine Stichprobe von 20 Stück entnommen.

a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass keine Flasche weniger als 495 ml enthält?

b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit enthalten höchstens zwei Flaschen weniger als 495 ml?

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass keine Flasche weniger als 495 ml enthält?

Stichworte: bernoulli,wahrscheinlichkeit

Aufgabe:

Beim maschinellen Abfüllen von Halbliter-Flaschen wird der ,,Sollwert von 0,5 l nicht immer genau eingehalten. Der Hersteller garantiert aber, dass 98 % der Flaschen mindestens 495 ml enthalten. Von den abgefüllten Flaschen wird eine Stichprobe von 20 Stück entnommen.

a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass keine Flasche weniger als 495 ml enthält?

b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit enthalten höchstens zwei Flaschen weniger als 495 ml.

Problem/Ansatz:

a) X = Anzahl der Flaschen, die einen Gehalt von 495 ml vorweisen; k = 20; n = 20; p = 0,98

P(X = 20) = (20 über 20) * (0,98)²⁰ * (0,02)⁰ ≈ 0,668

b) X = Anzahl der Flaschen, die weniger einen Gehalt als 495 ml vorweisen;

P(X ≤ 2) = 1 - P(X = 1)

P(X ≤ 2) = 1 - P(X =1)

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Warum stellst du die Frage erneut. Was hattest du an der damaligen Erklärung nicht verstanden?

Answer 1

Aloha :)

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Flasche mindestens \(495\,\mathrm m\ell\) enthält, beträgt 0,98.

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Flasche wenigar als \(495\,\mathrm m\ell\) enthält, beträgt 0,02.

Es werden \(n=20\) Flaschen als Stichprobe entnommen.

a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass keine Flasche weniger als 495 ml enthält?

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass alle \(k=20\) Flaschen mindestens 495ml enthalten:$$p_a=0,98^{20}\approx0,667608$$

b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit enthalten höchstens zwei Flaschen weniger als 495 ml?

Hier müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für \(k=0\), \(k=1\) und \(k=2\) zu gering gefüllte Flaschen addieren:$$p_b=\binom{20}{0}\cdot0,02^0\cdot0,98^{20}+\binom{20}{1}\cdot0,02^1\cdot0,98^{19}+\binom{20}{2}\cdot0,02^2\cdot0,98^{18}$$$$\phantom{p_b}=0,98^{20}+20\cdot0,02\cdot0,98^{19}+\frac{20\cdot19}{2}\cdot0,02^2\cdot0,98^{18}\approx0,992931$$

Answer 2

n = 20 ; p = 0.02
a) P(X = 0) = 0.98^20 = 0.6676
b) P(X ≤ 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = 0.98^20 + 20·0.02^1·0.98^19 + (20 über 2)·0.02^2·0.98^18 = 0.9929