Bestimmen Sie den Inhalt der Fläche, die vom Graphen von f, der x-Achse und den Geraden = 1 und = 3 begrenzt wird!

Question

Aufgabe:

Gegeben sind die beiden Parabeln f und g durch ihre Funktionsgleichungen f(x) = 1/2(x² − 4x) und g(x) = − 1/4(x − 5)² + 2,5.

Bestimmen Sie den Inhalt der Fläche, die vom Graphen von f, der x-Achse und den Geraden x= 1 und x= 3 begrenzt wird! Berechnen Sie den Inhalt des Flächenstückes, das von den beiden Graphen vollständig begrenzt wird!

Problem/Ansatz:

Nullstellen der beiden Funktionen habe ich.

f(x) x1=0  und x2=4

g(x) x1=1,8 und x2=8,2

Schnittpunkt der beiden Graphen liegen bei x1=1 und x2=5

Ich brauch wieder Hilfe bei der Aufstellung der Gleichung für A.

Comments

Dasselbe wie bei der letzten Frage: Die Frage ist falsch abgetippt worden.

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Habe es korrigiert.

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"Gegeben sind die beiden Parabeln f und g durch ihre Funktionsgleichungen () = 1/2(2 − 4) und () = − 1/4( − 5)2 + 2,5."    und    "  und den Geraden = 1 und = 3"

Wie soll hier jemand darauf antworten!?

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Im 2. Absatz hat es auch Fehler.

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Ok, habe es bemerkt, ist am Handy alles etwas klein. Ich setze mich jetzt an den PC, da ist es übersichtlicher. Bitte entschuldigen Sie.

Answer 1

Das ist eine einfache Flächenberechnung → Integralrechnung

Senkrechte Geraden x1=1 und x2=3  → f(x)=1/2*x²-2*x → Nullstellen x1=0 und x2=4

also keine Nullstellen im Integrationsbereich

F(x)=∫(1/2*x²-2*x)*dx

F(x)=1/6*x³-1*x²+C

A=obere Grenze minus untere Grenze=F(xo)-F(xu) → xo=3 und xu=1

Die Integrationskonstnte hebt sich bei dieser Rechnung auf

A=(1/6*3³-1*3²) - (1/6*1³-1*1²)=(-4,5)-(-5/6)

A=-3 2/3 FE (Flächeneinheiten)

Das Minuszeichen ergibt sich,weil die gesuchte Fläche unterhalb der x-Achse liegt

b) Differenzenformel A=∫f(x)-g(x)

f(x)=obere Begrenzung

g(x)=untere begrenzung

Schnittstellen 0=g(x)-f(x) → mit meinem Graphikrechner (GTR,Casio) x1=1 y1=1,5 und x2=5 y2=2,5

obere Begrenzung ist hier g(x)=..

untere Begrenzung ist hier f(x)=..

A=∫(-1/4*x²+10/4*x-15/4)-(1/2*x²-2*x)  obere Grenze xo=5 und untere Grenze xu=1

A=[f(xo)]-[F(xu)]=[F(5)]-[F(1)]

1) integrieren F(x)=....+C

2) A=obere Grenze minus untere Grenze=F(xo)-F(xu)  → xo=5 und xu=1

3) ausrechnen

A=....

den Rest schaffst du selber

~plot~1/2*x^2-2*x;-1/4*x^2+10/4*x-15/4;[[-5|10|-10|10]];x=1;x=5~plot~

Comments

Vielen lieben Dank!

Answer 2

\( f(x)=\frac{1}{2}\left(x^{2}-4 x\right) \) und \( g(x)=-\frac{1}{4}(x-5)^{2}+2,5 \)
Schnittpunkte: \( P_{1}(1 \mid-1,5) \) und \( P_{2}(5 \mid 2,5) \)
Differenzfunktion: \( d(x)=f(x)-g(x) \)
\( d(x)=\frac{1}{2}\left(x^{2}-4 x\right)+\frac{1}{4}(x-5)^{2}-2,5=\frac{1}{2} x^{2}-2 x+\frac{1}{4}\left(x^{2}-10 x+25\right)-2,5 \)
\( d(x)=\frac{1}{2} x^{2}-2 x+\frac{1}{4} x^{2}-\frac{10}{4} x+\frac{25}{4}-2,5=\frac{3}{4} x^{2}-\frac{9}{2} x+\frac{15}{4} \)
\( A=\int \limits_{1}^{5}\left(\frac{3}{4} x^{2}-\frac{9}{2} x+\frac{15}{4}\right) \cdot d x=\left[\frac{1}{4} x^{3}-\frac{9}{4} x^{2}+\frac{15}{4} x\right]_{1}^{5}=\ldots \)

Answer 3

Du suchst das Integral der Differenzfunktion von 1 bis 3.

Comments

Die Graphen sehen bei mir etwas anders aus.

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Wie sehen sie denn aus bei Dir?

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Habe aber schon gemerkt, habe die Geraden auf jeden Fall falsch! :-(

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Sind es 4 FE?

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Ja. Und dann hat es noch eine zweite Frage.

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Da komme ich auf 13 FE! Passt das auch?

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Ich komme auf 8. Aber ich kann mich natürlich auch irren.