Sehr schwere Aufgabe der Woche

Question

Aufgabe:

Neue Aufgabe der Woche noch schwerer

Problem/Ansatz:

Ganze Aufgabe steht auf dem Bild

Text erkannt:

Aufgabe der Woche
In einem Viertelkreis \( A B C \) ist ein Kreis \( k(M ; r) \) derart einbeschrieben, dass er sowohl die Kreislinie \( \widehat{B C} \) in \( P \) als auch den Radius \( \overline{A B} \) in \( Q \) berührt. \( \overline{C S} \) sei eine Tangente von \( C \) an den Kreis. Bestimme das Verhältnis \( \frac{s}{t} \).

Answer 1

Hallo,

so schwer ist es nicht. Dreimal Pythagoras und das Ergebnis steht ;-)

aus \(\triangle AQM\) folgt (Bem.: \(|AP|=R\))$$(R-r)^2=t^2+r^2$$ und aus den beiden rechtwinkligen Dreiecken \(\triangle MCS\) und \(\triangle CMQ'\) folgt$$s^2+r^2 = t^2 + (R-r)^2$$Setzt man den Term \((R-r)^2\) aus der ersten Gleichung in die zweite ein, so folgt$$\begin{aligned} s^2+r^2 &= t^2 + t^2+r^2 \\ s^2 &= 2t^2 \\ \frac st &= \sqrt 2\end{aligned}$$Gruß Werner

Comments

Hallo,

auf die Idee mit Q' muss man erst einmal kommen.

:-)

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auf die Idee mit Q' muss man erst einmal kommen.

Ja - wobei mir ein anderer Punkt, der nicht auf dem Bild zu sehen ist, viel mehr Kopfzerbrechen bereitet hat. Du findest ihn als Schnittpunkt der Gerade durch \(PQ\) mit der Geraden durch \(AC\).

Für die Aufgabe ist er nicht notwendig, aber man benötigt ihn, um das Gebilde zu konstruieren ;-)

noch ein Hinweis: die rot gestrichelte Kurve ist eine Parabel mit Brennpunkt \(A\) und Leitgerade durch \(CQ'\) (blau gestrichelt). Diese Parabel ist die Ortskurve für alle Positionen von \(M\). Hat man das 'gesehen', dann fällt einem \(Q'\) in den Schoß.

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Für diesen Kommentar müsste ich dir einen zweiten "Daumen hoch" geben.

:-)

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.. umso länger man auf so eine Aufgabe drauf schaut, desto mehr sieht man ;-)

Es ist nicht nur \(|Q'P|=t\), sondern die Gerade durch \(Q'\) und \(P\) ist auch gemeinsame Tangente beider Kreise.

Das Viereck \(Q'AQP\) ist ein symmetrisches Trapez, bei dem die Diagonalen senkrecht zu den Schenkeln stehen. Also irgendwie ein Viereck auf einem Level mit Rechteck und Raute.

\(P\) liegt auf dem Umkreis des Rechtecks \(AQQ'C\).

Answer 2

Da über den Radius r nichts gesagt wird und ich davon ausgehen muss, dass \( \frac{s}{t} \) invariant ist, berechne ich einfach einen Spezialfall:

Hier ist r=t und s=r·√2, also \( \frac{s}{t} \)=\( \sqrt{2} \).