Optimierungsaufgabe mit einem geländewagen

Question

Ich habe eine Aufgabe zur Optimierungsrechnung, die ich leider nicht rechnen kann:

Ein Geländewagen soll möglichst schnell von einem Anfangspunkt A zu einem Endpunkt B gelangen. A liegt auf einer geradlinig verlaufenden Straße, B nach 40km rechtwinklig um 10km links der Straße. Der Geländewagen
kann auf der Straße 80km/h und im Gelände 40km/h zurücklegen.
Fertigen Sie eine Skizze an und berechnen Sie die Stelle, an der der Geländewagen abbiegen
soll.

Gruß, Philipp

Answer 1

Sei der Weg, den der Geländewagen auf der Straße zurückgelegt  x.

Dann errechnet sich die Zeit für diesen Weg nach t₁(x) = x / 80

Der Weg im Gelänge errechnet sich nach Satz des Pythagoras: √((40-x)^2 + 10^2 )

Die Zeit für diesen Teil des Weges errechnet sich also t₂(x) = √((40-x)^2 + 10^2 ) / 40.

Die Summe der beiden Zeiten muss minimal werden:

t(x) = t₁(x) + t₂(x) = x / 80 + √((40-x)^2 + 10^2 ) / 40

t ' (x) = 1/80 + 1/40 *2 * (40-x) * (-1) *1/2 * 1/√((40-x)^2 + 10^2 )

         = 1/80 - (40-x)/ (40*√((40-x)^2 + 10^2 )

         = [ √((40-x)^2 + 10^2 ) - (40-x)*2] / [80*√((40-x)^2 + 10^2]

Extrema:

[ √((40-x)^2 + 10^2 ) - (40-x)*2] / [80*√((40-x)^2 + 10^2] = 0

√((40-x)^2 + 10^2 ) - (40-x)*2 = 0

(40-x)^2 + 10^2 = (40-x)^2 * 4

100 = 3 * (40-x)^2

100 = 4800 - 240x + 3x^2

0 = 4700/3 - 80x + x^2

pq-Formel:

x₁₂ = 40 ± √ (1600 - 4700/3) = 40 ± 10/√3

x₁ =  40 + 10/√3 = 45,7 (entfällt mit Probe)

x₂ = 40 - 10/√3  = 34,2

Der Geländewagen muss also nach 34,2km von der Straße abbiegen.

Comments

Vielen Dank jetzt hab ich es verstanden :) Ohne Hilfe hätte es nie geklappt.