Sei der Weg, den der Geländewagen auf der Straße zurückgelegt x.
Dann errechnet sich die Zeit für diesen Weg nach t1(x) = x / 80
Der Weg im Gelänge errechnet sich nach Satz des Pythagoras: √((40-x)^2 + 10^2 )
Die Zeit für diesen Teil des Weges errechnet sich also t2(x) = √((40-x)^2 + 10^2 ) / 40.
Die Summe der beiden Zeiten muss minimal werden:
t(x) = t1(x) + t2(x) = x / 80 + √((40-x)^2 + 10^2 ) / 40
t ' (x) = 1/80 + 1/40 *2 * (40-x) * (-1) *1/2 * 1/√((40-x)^2 + 10^2 )
= 1/80 - (40-x)/ (40*√((40-x)^2 + 10^2 )
= [ √((40-x)^2 + 10^2 ) - (40-x)*2] / [80*√((40-x)^2 + 10^2]
Extrema:
[ √((40-x)^2 + 10^2 ) - (40-x)*2] / [80*√((40-x)^2 + 10^2] = 0
√((40-x)^2 + 10^2 ) - (40-x)*2 = 0
(40-x)^2 + 10^2 = (40-x)^2 * 4
100 = 3 * (40-x)^2
100 = 4800 - 240x + 3x^2
0 = 4700/3 - 80x + x^2
pq-Formel:
x12 = 40 ± √ (1600 - 4700/3) = 40 ± 10/√3
x1 = 40 + 10/√3 = 45,7 (entfällt mit Probe)
x2 = 40 - 10/√3 = 34,2
Der Geländewagen muss also nach 34,2km von der Straße abbiegen.