Mehrfachintegrale. Bestimme den Schwerpunkt der Fläche zwischen y=-x^2 -2x und x-Achse

Question

mehrfachintegrale y=-x^2 -2x

gegeben sei die fläche die von der parabel und der x achse begranzt wird. man skizziere fläche und bestimme den schwerpunkt S

lg

Comments

Lasse dich vielleicht hier inspirieren: https://www.mathelounge.de/9710/schwerpunkt-der-flache-berechnen-zwischen-den-kurven-und-x

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kann ich hier den doppelintegral auch umgehen? die aufgabe sollte laut angabe in 10 minuten zu lösen sein . mit den doppelintegralen habe ich es bereits versucht bleibe aber nach etwa einer halben seite hängen. was ließt du direkt aus der angabe bzw. was frägst du dich um die schnellste lösung zu finden. in den ganzen aufgaben gibt es anscheinen immer mindestens ein versteckten hint (wie ddas erkennen der e funktion vorher, oder binomische formeln beim lösen).;-) alle aufgaben von heute sind teil einer alte n klausur ohne lösung die ich gerade durchrechne...

Answer 1

Hi,

bestimme die Nullstellen:

x₁ = -2 und x₂ = 0

A = ∫_-2⁰ -x^2-2x dx = [-x^3/3-x^2]_-2⁰ = 4/3

 

Für den Schwerpunkt siehe Link von Lu. Mehr als in die Formel einsetzen ist ja nicht zutun ;).

(d.h. den x-Wert kann man ja direkt ablesen^^)

 

Grüße

Comments

auch hier bräuchte ich jetzt einmal eine lösung

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Hab ich Dir doch gegeben ;).

Flächeninhalt ist ja nur kurz einsetzen.

Die x-Koordinate ist wie gesagt abzulesen: -1

Die y-Koordinate kann man über 1/A*∫_-2⁰∫₀^{-x^2-2x} y dy dx zu 2/5 = 0,4 bestimmen.

Schwerpunkt: S(-1|0,4)

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ne meinte mit den zwischenschritten. die nullstellen bekomm ich hin.... sry wenn ich soviel arbeit mache... hab in ner woche prüfung;-( wo liest du die x koordinate oder meinst einfach vom schwerpunkt..- sind doch sonst die nullstellen...?

 

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1/A*∫_-2⁰∫₀^-x2-2x y dy dx  wieso hoch x^2...

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Das liegt an der Symmetrie. Logischerweise muss die x-Koordinate des Schwerpunktes auf der Symmetrieachse liegen. Diese ist x ) -1


Zum zweiten Teil der Frage: Na die Funktion dient eben als obere Grenze des y-Wertes.

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kannst du mir die einmal schritt für schritt geben? ich komm auf - 18 das macht keinen sinn

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1/A*∫_-2⁰∫₀^-x2-2x y dy dx = 3/4*∫_-2⁰ [1/2*y^2]₀^-x²-2x dx = 3/4*∫_-2⁰ 1/2*(-x^2-2x)^2 dx

= 3/8*∫_-2⁰ (x^4+4x^3+4x^2) dx = 3/8*[1/5*x^5+x^4+4/3*x^3]_-2⁰ = 0,4

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komme ich auch ohne die fläche auf den schwerpunkt? kollege meinte hier gäbe es noch einen trick... ich komm aber ned drauf...

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nullstellenberechnen, skizze, fläche bestimmenund nochmal integrieren für schwerpunkt nachdem ich die x koordinate abgelesen habe? oder

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Für die x-Koordinate hatte ich Dir ja schon verraten wie das funktioniert. Da braucht es keine Rechnung. Für die y-Koordinate...da sehe ich jetzt aber nichts (was nicht heißt, dass es da nichts gibt)...warum fragste Deinen Kollegen nicht einfach?^^ Kannst seine Antwort ja mir dann auch weiterleiten.

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und für die zeichnung bräuchte ich ja neben den nullstellen noch den scheitel oder erledigt sich das automatisch.... muss das alles so kurz wie möglich halten...

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Naja, das kommt auf Dich an^^. Wenn man erkennt, dass es sich um eine verschobene Normalparabel handelt reichen die Nullstellen. Ansonsten vielleicht noch einen weiteren Punkt (ob das der Scheitelpunkt ist oder nicht).

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klar kann ich das ablesen aber bevor ich das tue muss ich das ding ja mal skizzieren... also ich komme auf die x koordinate auch ohne den scheitel auszurechnen... die frage ist brauche ich den scheitel hier...

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ok also... ich berechne die nullstellen... sehe das es eine verschobene nach unten geöffnete(- x^2) normalparabel ist..

 

jetzt skizziere ich das ganze und weiß ja das es dann bei -1 achsensymmetrisch ist also hier mein xs liegen muss...

 

dh.. ich brauche jetzt nur noch mein ys...

 

ys=  1/A*∫_-2⁰∫₀^-x2-2x y dy dx

= 3/4*∫_-2⁰ [1/2*y²]₀^-x²-2x dx 

= 3/4*∫_-2⁰ 1/2*(-x²-2x)² dx

= 3/8*∫_-2⁰ (x⁴+4x³+4x²) dx

= 3/8*[1/5*x⁵+x⁴+4/3*x²]_-2⁰ 

= 0,4

 

wir rechnen ohne taschenrechner ich wär da so nie drauf gekommen...;-( 

ich poste gleich nochmal meinen rechenweg

 

 

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also auf den integral teil...heißt das dann (1/a) * oder1 /(a*...

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Hö? Wo braucht es da einen Taschenrechner? Bzw. kann das ein Taschenrechner überhaupt ausrechnen?^^

Das einzige was man können muss, sind die Grenzen zu bestimmen und die kann man an der Skizze ablesen.

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ah eine verschaut... musste es mal abschreiben...

3/8*[1/5*x⁵+x⁴+4/3*x²]_-2⁰

 

^{wenn ich jetzt xs gegen -1 laufen lasse oder?}

 

 

= 0,4

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Wieso x_s gegen -1 laufen lassen?

Ganz normal integrieren...!

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dann kommt 3,725 rausbei mir..;-( sry 3 stunden schlaf ich ärger mich einfach... das ist wie eine offenene tür durch die man gerade nicht durch kommt... ich sehs ned... ich rechne es nochmal von vorne.. dank dir erstmal... ;-) hast du meine zwei anderen posts als duplikate gemacht?

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Ein Tippfehler (meinerseits):

= 3/8*∫_-2⁰ (x⁴+4x³+4x²) dx

= 3/8*[1/5*x⁵+x⁴+4/3*x³]_-2⁰

= 0,4

 

So solltest Du auch zur Lösung kommen ;).

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wollte es gerade schreiben hab jetzt nochmal alle zwischenschritte durch...;-) j

o.4 oder - 0,4.... 3/8*(16-32/5-32/3)

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Im Zweifelsfalle erkennt man das im Schaubild ;).

Da aber -2 die untere Grenze ist, muss vor dem 3/8 en Minus stehen. Also das ganze abgezogen werden (von  0, der oberen Grenze).

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ja suche die mathematische lösung... gesehen hab ichs auch.. kommt halt minus bei mir raus...

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? Die mathematische Lösung für den Schwerpunkt?

Der funktioniert genau wie beim y-Wert. Nur dass Du nicht über y, sondern über x integrierst ;).