Sei \(P\in \mathbb{R}^{3\times 3}\) eine Projektionsmatrix. Eine solche Matrix ist idempotent (idem ist lat. für derselbe), was so viel wie "gleichmächtig" heißt. Idempotente Matrizen erfüllen \(P^2=P\).
Stell dir vor du projizierst einen Punkt im \(\mathbb{R}^3\) auf eine Ursprungsebene \(E\), d. h. \(x\in \mathbb{R}^3\) und \(Px\in E\). Wenn du auf den projizierten Punkt nun erneut die Projektionsmatrix anwendest, bleibt der Punkt wie zuvor, weil er ja bereits auf die Projektionsebene projiziert wurde.
Das Eigenwertproblem lautet: \(Pv=\lambda v\) für \(v\neq 0\) und \(\lambda \in \mathbb{R}\). Für alle Punkte auf der Ebene \(E\) ist die Gleichung erfüllt für \(\lambda=1\). Speziell für all diejenigen Punkte, die auf den Ursprung projiziert werden, muss \(\lambda=0\) sein.
