Konstruieren eines Dreiecks mit vorgegebenen Längen

Question

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3. Konstruieren Sie (auf diesem Aufgabenblatt mit Zirkel und Lineal!) ein Dreieck, von dem die Länge der Seite \( c \) und die Längen der Seitenhalbierenden \( s_{a} \) und \( s_{c} \) gegeben sind. Geben Sie alle Schritte, also Analyse, Planfigur... Begründung an und diskutieren Sie, ob ein solches Dreieck, also wenn \( c, s_{a} \) und \( s_{c} \) gegeben sind, immer konstruierbar ist.

Comments

Jetzt ist mein Bildschirm kaputt. Habe mit dem Zirkel reingestochen.

Answer 1

Hallo,

bei dieser Konstruktionsaufgabe gibt es viele Wege zur Lösung. Im folgenden zeige ich einen Weg ohne Dreiteilung einer Strecke.

Zeichne eine Gerade (blau) und trage die Strecke \(c\) darauf ab. Die Endpunkte sind \(A\) (links) und \(B\). Halbiere diese Strecke. Der Mittelpunkt sei \(M_c\). Spiegele \(B\) an \(A\) zu \(B'\) (schlage einen Kreis mit \(|AB|\) um \(A\)).

Nun ziehe einen Kreis (lila) mit dem Radius der doppelten Strecke \(s_a\) (lila gestrichelt) um \(B'\) und einen weiteren Kreis (grün) mit dem Radius \(s_c\) um \(M_c\). Beide Kreise schneiden sich oberhalb von \(c\) im Punkt \(C\).

Das Dreieck \(\triangle ABC\) ist das gesuchte Dreieck.

Diskutieren Sie, ob ein solches Dreieck immer konstruierbar ist

Das ist genau dann konstruierbar, wenn der Schnittpunkt \(C\) der beiden Kreise existiert. Also wenn diese beiden Kreise sich auch schneiden. Welche Bedingungen dazu erfüllt sein müssen, kann man aus der Konstruktion ablesen ;-)

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Die Bedingung für die Konstruierbarkeit des oben beschriebenen Dreiecks ist $$2s_a - s_c \lt \frac 32c \lt 2s_a + s_c$$

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Falls Du noch Fragen hast, so melde Dich bitte.

Gruß Werner

Answer 2

Benutze das sich die Seitenhalbierenden durch den Schwerpunkt im Verhältnis von 2:1 schneiden.

Also fange bei der Konstruktion bei der Grundseite c an.

Und ist ein Dreieck mit c = 1000 LE ; sa = sc = 1 LE kostruierbar? Ich denke nicht.