Daten von Exponentialfunktion: Parameter

Question

Aufgabe:

Vergleiche die Modelle

Problem/Ansatz:

Es handelt sich um eine Exponentialfunktion. Da gibt es verschiedene Wege.

Einer ist: durch zwei Punkte die Parameter a und b zu berechnen

Der andere ist: Die Punkte zu dividieren und von den Quotienten dann den Mittelwert zu bestimmen, um b herauszubekommen. Mit dem Wert kann man dann a berechnen.

Was soll ich da jetzt vergleichen? Für mich ist es gefühlt das selbe vom Vorgehen

Ich wäre dankbar über jede Hilfe :)

Liebe Grüße

Answer 1

Prinzipiell ist es das Gleiche. Über das Gleichungssystem im 1. Verfahren brauchst du dir aber keine Formel merken.

Beim zweiten Verfahren ist die Berechnung von b schon über eine Formel vereinfacht. Du musst hier also quasi die Formel lernen. Hast es dafür aber später einfacher Exponentialfunktionen aufzustellen.

Das ist so wie die pq-Formel die die quadratische Ergänzung ersetzt. Prinzipiell steckt in dre pq-Formel natürlich die quadratische Ergänzung. Nur eben allgemein als Formel zusammengefasst.

Answer 2

Ich kenne keinen anderen Weg:

\( P(3 \mid 7) \)

1.) \( 7=a \cdot e^{3 b} \rightarrow a=\frac{7}{e^{3 b}} \)

\( Q(5 \mid 9) \)

2.) \( 9=a \cdot e^{5 b} \rightarrow a=\frac{9}{e^{5 b}} \)

\( \frac{7}{e^{3 b}}=\frac{9}{e^{5 b}} \)

\( \frac{e^{5 b}}{e^{3 b}}=\frac{9}{7} \)

\( e^{2 b}=\frac{9}{7} \)

\( 2 b=\ln \left(\frac{9}{7}\right) \)

\( b=\frac{\ln \left(\frac{9}{7}\right)}{2} \approx 0,13 \)

\( a \approx \frac{9}{e^{5 \cdot 0,13}} \approx 4,7 \)

\( y=4,7 \cdot e^{0,13 x} \)