Kumulierte Wahrscheinlichkeiten Knopf Aufgabe

Question

Aufgabe:

Ein Knopf wird zehnmal geworfen. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Vorderseite oben liegt, beträgt 0,4. Mit welcher Wahrscheinlichkeit fällt

a) nur im zweiten, im vierten und im achten Wurf ,,Vorderseite"

b) höchstens zweimal oder mindestens siebenmal ,,Vorderseite"

c) in den ersten drei Würden jedes Mal ,,Vorderseite", insgesamt aber viermal ,,Rückseite",

d) gneau dreimal in Folge ,,Vorderseite"

g) in den ersten fünf Würfen höchstens einmal ,,Rückseite" und unter den letzten fünf Würfen mindestens zweimal ,,Vorderseite".

Answer 1

Ich komme auf folgende Ergebnisse

a) nur im zweiten, im vierten und im achten Wurf "Vorderseite" (0.0018)
b) höchstens zweimal oder mindestens siebenmal "Vorderseite" (0.2221)
c) in den ersten drei Würfen jedes Mal "Vorderseite", insgesamt aber viermal "Rückseite" (0.01858)
d) genau dreimal in Folge "Vorderseite" (0.01433)
g) in den ersten fünf Würfen höchstens einmal "Rückseite" und unter den letzten fünf Würfen mindestens zweimal "Vorderseite". (0.05771)

Answer 2

Sei \(X\) die Zufallsgröße 'Anzahl von "Vorderseite" in den 10 Würfen'.

a) Baumdiagramm mit zehn Ebenen. Es gibt einen einzigen Pfad, bei dem nur im zweiten, im vierten und im achten Wurf ,,Vorderseite" fällt.

b) \(P(X \leq 2) + P(X\geq 7) = P(X \leq 2) + (1 - P(X < 7)) = P(X \leq 2) + 1 - P(X \leq 6)\).

Die Wahrscheinlichkeiten \(P(X \leq 2)\) und \(P(X \leq 6)\) Werden mit dem Taschenrechner ausgerechnet oder in einer Tabelle nachgeschaut.

c) 'in den ersten drei Würden jedes Mal ,,Vorderseite"' rechnest du mit einem Baumdiagramm mit drei Ebenen aus.

'insgesamt aber viermal ,,Rückseite"' bedeutet, dass in den 7 folgenden Würfen genau drei mal "Vorderseite kommt". Binomialverteilung mit \(n=7\), \(p = 0,4\) und \(k = 4\).

Multipliziere anschließend die beiden Wahrscheinlichkeiten.

g) Teile das auf in zwei Versuche mit \(n = 5\). Berechne die zwei Wahrscheinlichkeiten einzeln und multipliziere sie anschließend.

Answer 3

a) 0,4^3*0,6^7

b) P(X<=2) +P(X>=7) = 1-P(X=3)-P(X=4)-P(X=5)-P(X=6)

P(X=3) = (10über3)*0,4^3*0,6^7

Rest analog. Bernoullikette!

c) 0,4^3*(7über4)*0,6^4*0,4^3

d) (0,4^3)^3*0,6*(4über3)

Comments

Wie stellst du dir d) genau vor? Ich glaube da weicht unser Verständnis für die Aufgabe etwas ab.

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VVV VVV VVV R

Dafür gibt es 4 Reihenfolgen.

VVV hat die WKT 0,4^3

Oder sehe ich da etwas falsch?

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Also eigentlich 3 mal 3 mal Vorderseite in Folge.

Ich habe es eher betrachtet als genau dreimal Vorderseite und das noch in Folge.

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Du hast wohl Recht. Ich hab das

Wie hast du dann gerechnet, wenn VVV nur einmal auftreten soll.

Da gibt es ja etliche Kombinationen.

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Ich habe nur folgende Möglichkeiten genommen. Aber

VVVRRRRRRR
RVVVRRRRRR
RRVVVRRRRR
RRRVVVRRRR
RRRRVVVRRR
RRRRRVVVRR
RRRRRRVVVR
RRRRRRRVVV

Allerdings wäre bei anderer Deutung eben auch

VVVRVVVRVV

möglich, weil auch hier genau 3 mal in Folge Vorderseite vorkommt.

Daher hatte ich das genau eben auch auf die Anzahl der Vorderseite bezogen was eigentlich nicht üblich ist.

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Es kann aber mMn auch vorkommen: VV und V zusätzlich zu VVV

Das führt zu weiteren Möglichkeiten. Damit wirds kompliziert.

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Richtig. Ich hatte ja oben auch ein VV eingefügt am Ende. Man könnte das natürlich mit einer Fallunterscheidung machen. Aber die Arbeit hätte ich mit nicht gemacht ohne nicht Rücksprache zu halten wie die Aufgabe genau zu verstehen ist.