Bestimmen Sie für die nachfolgende Matrix eine invertierbare Matrix und eine Diagonalmatrix D .....

Question

Bestimmen Sie für die nachfolgende Matrix \( A \in \operatorname{Mat}(3 \times 3, \mathbb{R}) \) eine invertierbare Matrix \( T \in \operatorname{Mat}(3 \times 3, \mathbb{R}) \) und eine Diagonalmatrix \( D \in \operatorname{Mat}(3 \times 3, \mathbb{R}) \), so dass \( T^{-1} A T=D \) gilt.

Berechnen Sie weiterhin die Determinante von \( A \).

\( A:=\left(\begin{array}{rrr} 0 & -1 & 1 \\ -3 & -2 & 3 \\ -2 & -2 & 3 \end{array}\right) \)

Answer 1

Hi,

D besteht aus den Eigenwerten:

$$D = \begin{pmatrix}-1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

T sind die zugehörigen Eigenvektoren:

$$T = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 3 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$

Die inverse dazu bilden (mit Formel aus wiki oder über "Doppel"matrix)

$$T^{-1} = \begin{pmatrix}\frac12 & \frac12 & -\frac12 \\ -1 & -1 & 2 \\ -\frac32 & -\frac12 & \frac32 \end{pmatrix}$$

Die Determinante über Sarrus:

detA = -1

Grüße