Zu zeigen ist, dass die Abbildung V^v → Ker(f)^v einen Isomorphismus induziert. (Homomorphiesatz)

Question

Aufgabe:

Seien K ein Körper und f : V → W ein Homomorphismus von endlichdimensionalen K-Vektorräumen.

Zu zeigen ist, dass die Abbildung V^v → Ker(f)^v, die einer Linearform λ: V → K ihre Einschränkung auf Ker(f) zuordnet, einen Isomorphismus V^v / Im(f^∨ ) ≅Ker(f )^∨ induziert.

Problem/Ansatz:

Mich verwirrt dieses ^v, ich habe mir schon ''normale'' Beweise angeschaut (Homomorphiesatz) aber ich verstehe nicht wie ich das hier ''umschreiben'' soll. Hätte vielleicht jemand einen Tipp?

Soll dann einfach ker(f)^v stehn bleiben statt ker(f)?

Answer 1

Das \( ^v \) kennzeichnet duale Objekte:

$$ V^v = \{ g : V \to K ~|~ g \text{ linear}\} $$$$ \ker(f)^v = \{ g : \ker(f) \to K ~|~ g\text{ linear} \} $$$$ W^v = \{ h : W \to K ~|~ h \text{ linear}\} $$$$ f^v : W^v \to V^v, \varphi \mapsto \varphi \circ f $$
Zeige also, dass die Abbildung$$ \Psi : V^v \to \ker(f)^v, \psi \mapsto \psi|_{\ker(f)} $$- linear

- surjektiv

und dass

- \( \ker \Psi = \operatorname{im}(f^v) \)

ist. Die Inklusion \( \supseteq \) ist dabei trivial, die andere kann man sich je nach Vorwissen auch herleiten, indem man \( \dim \ker \Psi = \dim \operatorname{im}(f^v) \) zeigt. Das läuft auf \( \dim \operatorname{im}(f) = \dim \operatorname{im}(f^v) \) hinaus.