Bestimmen Sie eine invertierbare Matrix S .

Question

Aufgabe:

Die Matrix \( A=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 4 & 3\end{array}\right) \) besitzt das charakteristische Polynom \( \chi_{A}=(X+1)(X-5) . \) Bestimmen Sie eine invertierbare Matrix \( S \in \mathrm{GL}(2, \mathbb{R}) \), sodass \( S^{-1} A S \) eine Diagonalmatrix \( D \) ist. Geben Sie auch \( D \) an.

Problem/Ansatz:

Kann Jemand BITTE diese Aufgabe lösen ich könnte leider nicht .

Comments

Hallo

die Matrix und das char. Polynom passen nicht zusammen, wenn du die richtigen hast bestimme erst mal sie Eigenvektoren! zu den gegebenen eigenwerten!

Gruß lul

Answer 1

Hallo,

aus dem charakterischen Polynom folgen die Eigenwerte $$\begin{aligned} (1-\lambda)(3-\lambda) &= 8 \\ \lambda^2 - 4\lambda - 5 &= 0 \\ (\lambda + 1)(\lambda - 5) &= 0 \\ \implies \lambda_1 &= -1, \quad \lambda_2 = 5 \end{aligned}$$Setze diese in \((A-\lambda_{1,2} \cdot \underline 1) e_{1,2} = \vec 0\) ein und bestimme die Eigenvektoren. Das sind$$e(\lambda_1) = \begin{pmatrix} 1\\-1 \end{pmatrix}, \quad e(\lambda_2) = \begin{pmatrix} 1\\2 \end{pmatrix}$$und diese sind gleichzeitig die Spalten von \(S\)$$S = \begin{pmatrix}1& 1\\ -1& 2\end{pmatrix}$$und weiter ist $$S^{-1} \cdot A \cdot S = \frac 13 \begin{pmatrix}2& -1\\ 1& 1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1& 2\\ 4& 3\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1& 1\\ -1& 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1& 0\\ 0& 5\end{pmatrix} = D$$und das \(D\) enthält (wie erwartet!) die Eigenwerte auf der Diagonalen.

Gruß Werner