Betrachte das letzte Integral
$$\int_{x_0}^x \space \sin(s)\space ds=-\int_{f(x_0)}^{f(x)} \frac{1}{s-5}\space ds. $$
Ausrechnen ergibt jeweils:
$$\int_{x_0}^x \space \sin(s)\space ds=[-\cos(s)]_{x_0}^x=-\cos(x)+\cos(x_0) $$
und
$$-\int_{f(x_0)}^{f(x)} \frac{1}{s-5}\space ds=-[\ln(|s-5|)]_{f(x)}^{f(x_0)}=-\ln(|f(x)-5|)+\ln(|f(x_0)-5|) $$
Also hat man:
\(-\cos(x)+\underbrace{\cos(x_0)}_{=:c_1}=-\ln(|f(x)-5|)+\underbrace{\ln(|f(x_0)-5|)}_{=:c_2}\\\Rightarrow -\cos(x)+c_1=-\ln(|f(x)-5|)+c_2\\\Rightarrow \cos(x)-c_1=\ln(|f(x)-5|)-c_2\\\Rightarrow \cos(x)+C=\ln(|f(x)-5|)\).
Jetzt nach \(f(x)\) auflösen:
Problem: Betrag stört. Also Fallunterscheidung:
$$\begin{aligned}1.) \quad f(x)-5\geq 0:& \quad \cos(x)+C=\ln(f(x)-5)\\&\Rightarrow e^{\cos(x)+C}=f(x)-5\\&\Leftrightarrow e^C\cdot e^{\cos(x)}=f(x)-5\\&\Rightarrow \lambda\cdot e^{\cos(x)}=f(x)-5\\&\Leftrightarrow f(x)=\lambda\cdot e^{\cos(x)}+5\end{aligned}$$
\(2.) \quad f(x)-5<0\) analog. Es ergibt sich \(f(x)=\mu\cdot e^{\cos(x)}+5\).
Beide Fälle lassen sich also zusammenfassen zu:
\(\boxed{f(x)=\alpha\cdot e^{\cos(x)}+5}\).
