Lineare DGL Ordnung lösen

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie sowohl die allgemeine Lösung $y(x)$ als auch die Lösung des Anfangswertproblems $y_{p}(x)$ der linearen Differentialgleichungen 1. Ordnung
$y^{\prime}+y \sin x=5 \cdot \sin x$
mit Anfangswert $y\left(\frac{\pi}{2}\right)=3$. Wählen Sie dazu einen geeigneten Lösungsansatz.

Comments

Hallo,

ich vermute, dass diese Gleichung mit den Techniken für lineare Differentialgleichungen (homogene Gleichung, partikuläre Lösung) bearbeitet werden soll. Wenn diese jetzt als Dgl mit getrennten Veränderlichen gelöst wird (zufällig möglich), wird dieser Lerneffekt verhindert.

Gruß Mathhilf

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Hallo,

Ok Danke

LG

Answer 1

Hallo,

Ich löse die DGL mittels " Trennung der Variablen" Wenn eine andere Methode (Variation der Konstanten") gewünscht würde, stünde es in der Aufgabenstellung:

y' +y sin(x)=5 sin(x)

y'= 5 sin(x) -y sin(x)

y'= sin(x)*(5 -y)

dy/dx= sin(x)*(5 -y)

dy/(5-y)= sin(x) dx

-ln|5-y| =-cos(x)+C | e hoch

|1/(5-y)| =  e^(-cos(x) *e^C

1/(5-y) =  e^(-cos(x) * ± e^C --------->± e^C =C1

1/(5-y) =  C1 *e^(-cos(x) | Reziproke

5-y= 1/(C1 *e^(-cos(x))

5-y= K e^(cos(x)  ----->1/C1=K

y=5 +K *e^(cos(x)

AWB:y(π/2)=3

3=5 +K *e^((π/2))

K= -2

Lösung:

y=5 -2 *e^(cos(x))

Comments

Hallo ,

Danke für die schöne Methode.

ich finde diese einfach.

ich habe jetzt so gemacht und ich habe y=5 +K *e^(cos(x) und am Ende

y=5+2 *e^(cos(x)) raußbekommen.

warum bei dir minus y=5-2 *e^(cos(x)) ?

LG

Martin

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ich auch, deswegen habe ich das geschrieben

y=5 +K *e^(cos(x)

y(π/2)=3

3=5 +K *e^(cos(π/2))

cos(π/2) =0

3=5 +K *e^(0) ; e^(0)=1

3= 5+K

K= -2

--->

y=5 +K *e^(cos(x)

y=5 -2 *e^(cos(x)

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bist du auch ?

aber du hast minus y=5 -2 *e^(cos(x) aber ich + plus y=5+2 *e^(cos(x))

wer falsh jetzt haha

LG

Martin

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3=5 +K *e^((π/2)

Ich habe für K -2 erhalten

------>

3=5 +(-2) *e^((π/2)

3=5 -2 *e^((π/2)

---

was meinst du hier genau ± eC --------->± eC

nicht ganz genau verstanden.

LG

Answer 2

Hallo :-)

Du kannst hier so vorgehen:

Es läuft recht analog zum homogenen Fall ab:

$$f'(x)+f(x)\cdot \sin(x)=5 \cdot \sin(x) \quad \Leftrightarrow \quad f'(x)=\sin(x)\cdot (5-f(x)) \\\Leftrightarrow \quad \sin(x)=\frac{-f'(x)}{f(x)-5}$$

Betrachte:

$$\int_{x_0}^x \space \sin(s)\space ds=-\int_{x_0}^x \frac{f'(s)}{f(s)-5}\space ds$$

Substituiere mit $s\mapsto f(s)$ und erhalte

$$\int_{x_0}^x \space \sin(s)\space ds=-\int_{f(x_0)}^{f(x)} \frac{1}{s-5}\space ds.$$

Das musst du jetzt nur noch zu Ende nach $f(x)$ auflösen.

Comments

Hi ,

bekommt man y=23+e ?

LG

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Nein. Was hast du gerechnet?

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Ich bin deinen Schritten gefolgt

LG

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Dann hast du falsch gerechnet.

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wie hast du das berechnet ?
Kannst du bitte zeigen.

Bin dankbar :)

Lg

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Betrachte das letzte Integral

$$\int_{x_0}^x \space \sin(s)\space ds=-\int_{f(x_0)}^{f(x)} \frac{1}{s-5}\space ds.$$

Ausrechnen ergibt jeweils:

$$\int_{x_0}^x \space \sin(s)\space ds=[-\cos(s)]_{x_0}^x=-\cos(x)+\cos(x_0)$$

und

$$-\int_{f(x_0)}^{f(x)} \frac{1}{s-5}\space ds=-[\ln(|s-5|)]_{f(x)}^{f(x_0)}=-\ln(|f(x)-5|)+\ln(|f(x_0)-5|)$$

Also hat man:

$-\cos(x)+\underbrace{\cos(x_0)}_{=:c_1}=-\ln(|f(x)-5|)+\underbrace{\ln(|f(x_0)-5|)}_{=:c_2}\\\Rightarrow -\cos(x)+c_1=-\ln(|f(x)-5|)+c_2\\\Rightarrow \cos(x)-c_1=\ln(|f(x)-5|)-c_2\\\Rightarrow \cos(x)+C=\ln(|f(x)-5|)$.

Jetzt nach $f(x)$ auflösen:

Problem: Betrag stört. Also Fallunterscheidung:

$$\begin{aligned}1.) \quad f(x)-5\geq 0:& \quad \cos(x)+C=\ln(f(x)-5)\\&\Rightarrow e^{\cos(x)+C}=f(x)-5\\&\Leftrightarrow e^C\cdot e^{\cos(x)}=f(x)-5\\&\Rightarrow \lambda\cdot e^{\cos(x)}=f(x)-5\\&\Leftrightarrow f(x)=\lambda\cdot e^{\cos(x)}+5\end{aligned}$$

$2.) \quad f(x)-5<0$ analog. Es ergibt sich $f(x)=\mu\cdot e^{\cos(x)}+5$.

Beide Fälle lassen sich also zusammenfassen zu:

$\boxed{f(x)=\alpha\cdot e^{\cos(x)}+5}$.