Bestimmen einer Gleichung der Tangentialebene einer Funktion

Question

Text erkannt:

Gegeben ist die Funktion in zwei Veränderlichen \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \) mit
$$ f(x, y)=8+4 y-8 x-4 x y+2 x^{2}+x^{2} y $$
Bestimmen Sie eine Gleichung der Tangentialebene der Funktion \( f \) an der Stelle \( \left(x_{0}, y_{0}\right)=(2,-2) \).

Kann mir wer bitte einen Lösungsweg zeigen um abzugleichen da wir hier alle auch in der Gruppe verschiedene Lösungen haben

Comments

Schreib doch mal Deine Lösung auf, dann brauchen wir nur "Ja! oder "Nein" antworten.

Answer 1

Man braucht die Werte der partiellen Ableitungen  f_x  und f_y  im vorgegebenen Punkt  P₀ .

Ich habe die ausgerechnet und etwas erstaunt festgestellt, dass die beide gleich null sind.

Mit anderen Worten:  Der gegebene Punkt P₀  ist ein "stationärer Punkt"  der Funktion, die Tangentialebene ist deshalb horizontal und hat demnach einfach die Gleichung  z = f(x₀,y₀) = f(2,-2) = 0

Die Tangentialebene ist die x-y-Ebene "persönlich" ...

Offenbar also eine ziemlich speziell gezimmerte "Aufgabe".

(Tipp:  Faktorisieren des Funktionsterms zeigt den Grund für das sehr spezielle Verhalten beim Punkt  P₀ !)

Answer 2

Aloha :)

Die Gleichung der Tangentialebene an die Funktion \(f(\vec r)\) im Punkt \(\vec r_0=(x_0;y_0)\) lautet:$$z(\vec r)=f(\vec r_0)+\operatorname{grad}f(\vec r_0)\cdot(\vec r-\vec r_0)$$

Da brauchst du nur noch einzusetzen:$$f(\vec r_0)=f(2;-2)=\left(8+4y-8x-4xy+2x^2+x^2y\right)_{(x,y)=(2,-2)}=0$$$$\operatorname{grad}f(2;-2)=\binom{-8-4y+4x+2xy}{4-4x+x^2}_{(x,y)=(2,-2)}\!\!\!=\binom{2(x-2)(y+2)}{(x-2)^2}_{(x,y)=(2,-2)}\!\!\!=\binom{0}{0}$$

Also haben wir als Ebenengleichung:$$z=0+\binom{0}{0}\binom{x-2}{y+2}=0\quad\implies$$$$E\colon\;z=0$$Die Tangentialebene ist also die \(xy\)-Ebene.