mehrdimensionales Integral bestimmen

Question

Aufgabe:

Sei B := [0, 1] ^2 \ (0, 1/2)^2. Berechnen Sie das Integral:

$$\int \limits_{B}^{}f(x,y)d(x,y) = \int \limits_{B}^{}\frac{x\cdot y}{x^2 + y^2} d(x,y)$$

Problem/Ansatz:

Ich hätte das jetzt über die geteilte Integration gelöst also erst dx und dann dy jedoch bin ich mir hier ein bisschen unklar wie ich hier anfnagen soll da der Bereich mich ein bisschen verwirrt und ich nicht genau weiter komme mit dem Integral ;/

Comments

Wie sieht der Bereich denn aus?

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Der Bereich ist :

[0,1]^2 \ (0,1/2)^2

Also eigentlich wärs ja einfach dass die integralgrenzen über 0 und 1 gehen würden aber (0,1/2) wird ja ausgeschlossen.

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Nein. Jetzt nimm dir mal ein Blatt, zeichne ein Koordinatensystem auf und trage dann sowohl [0,1]^2 wie auch (0,1/2)^2 ein. Was bleibt übrig?

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der weg von 1/2 zu 1?

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Da stehen Quadrate an den Intervallen

$$ [0,1]^2 = \{ (x,y) ~|~ 0 \le x,y \le 1 \} $$

$$ (0,0.5)^2 = \{ (x,y) ~|~ 0 < x,y < 0.5 \} $$

Das Ergebnis wird also schon irgendetwas 2 dimensionales sein.

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Genau, also wär es doch [1/2,1] ^2 oder? oder könnte man dann einfach von 0 bis 1/2 und 1 bis 0 integrieren und dann minus rechnen oder?

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Also ich hab jetzt das integral dazu berechnet nur hab ich jetzt das problem dass die funktion in (0,0) nicht existieren würde nur das eg keine rolle spielt. Wie könnte man das begründen?