Es sei K ein Körper, und x1, x2, ... , xn ∈ K.

Question

Text erkannt:

Es sei \( K \) ein Körper, und \( x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n} \in K . \) Beweise die folgende Formel für die Determinante der sogenannten Vandermonde-Matrix:
$$ \operatorname{det}\left(\begin{array}{cccc} 1 & x_{1} & \cdots & x_{1}^{n-1} \\ 1 & x_{2} & \cdots & x_{2}^{n-1} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 1 & x_{n} & \cdots & x_{n}^{n-1} \end{array}\right)=\prod \limits_{1 \leq i<j \leq n}\left(x_{j}-x_{i}\right) $$

Aufgabe:

Comments

Das macht man per Induktion nach n

Die Determinante der nxn Matrix bezeichne ich im Folgenden mit \( V (x_1,...,x_{n}) \)

Jetzt ist - wie man sich leicht überlegt (Laplace!) - \( V (x_1,...,x_{n},T) \) (also die Det. der (n+1)x (n+1) Matrix mit \( x_{n+1} = T\)) ein Polynom in der Variablen T vom Grad n mit n Nullstellen (zerfällt also in LF!) und Leitkoeffizient \( V (x_1,...,x_{n}) \) (Induktionsvoraussetzung einsetzen!) Damit kann man dann das Polynom \( V (x_1,...,x_{n},T) \) einfach explizit hinschreiben und muss nur noch \( x_{n+1} \) einsetzen.