Höhere Mathematik 2 Analytische Geometrie

Question

Gegeben sind die Funktion
\( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}, \quad f(x, y)=2\left(x^{2}+y^{2}\right) \)
und die Ebene (mit Parameter \( \gamma \in \mathbb{R} \) )
\( E: 8 x+8 y+z=\gamma \)
a) In welchen Punkten \( \left(x_{0}, y_{0}\right) \) ist die Tangentialebene an den Graphen von \( f \) parallel zur Ebene \( E ? \)
b) Für welche Werte \( \gamma \) sind Tangentialebene und Ebene \( E \) identisch?

Answer 1

Aloha :)

Die Tangentialebene \(F\) der Funktion \(f\) im Punkt \((x_0;y_0)\) ist gegeben durch$$z=f(x_0;y_0)+\operatorname{grad}f(x_0;y_0)\cdot\binom{x-x_0}{y-y_0}$$Den Gradient von \(f\) können wir sofort sehen:$$z=f(x_0;y_0)+\binom{4x_0}{4y_0}\binom{x-x_0}{y-y_0}=2(x_0^2+y_0^2)+4x_0(x-x_0)+4y_0(y-y_0)$$$$\phantom{z}=-2(x_0^2+y_0^2)+4x_0\cdot x+4y_0\cdot y$$Die Tangentialebene in gewohnter Form lautet daher:$$F\colon\begin{pmatrix}-4x_0\\-4y_0\\1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=-2(x_0^2+y_0^2)$$

Ein Vergleich mit der Ebene$$E\colon\begin{pmatrix}8\\8\\1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\gamma$$zeigt, dass die Normalenvektoren nur im Punkt \((x_0;y_0)=(-2;-2)\) kollinear sind. Daher sind die beiden Ebenen nur in diesem Punkt parallel.

Speziell für \(\gamma=-2\cdot((-2)^2+(-2)^2)=-16\) sind die beiden Ebenen identisch.