Wie bestimme Ich am schnellsten die Jordan Normalform dieser Matrix?

Question

Aufgabe:

1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5

Wie bestimme Ich am schnellsten die Jordan Normalform dieser Matrix?

Comments

Damit meine Ich ohne die einzelnen Eigenwerte auszurechen...

Es müsste einen einfacheren Weg geben, bspw mit der Lin Unabhängigkeit ,aber da fehlt mir der Eigenwert 15. ;(

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Dass 15 ein Eigenwert sein muss, kann man relativ leicht im Kopf berechnen. Da offensichtlich alle Zeilensummen gleich sind, ist v=(1,1,1,1,1)^T ein Eigenvektor.

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Tut mir Leid, aber verstehe nicht ganz wie du auf die 15 kommst. Denn wenn ich mit dem Laplace Entwicklungssatz vorgehe, brauche Ich recht lange überhaupt das Polynom zu bestimmen....

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Um nachzuweisen, dass 15 ein Eigenwert ist, musst du nicht das charakteristische Polynom ausrechnen, denn offenbar gilt:$$\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\1&2&3&4&5\\1&2&3&4&5\\1&2&3&4&5\\1&2&3&4&5\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\1\\1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}15\\15\\15\\15\\15\end{pmatrix}=15\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\1\\1\\1\end{pmatrix}.$$

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Ah ja, !!;)

Answer 1

Hm, man könnte die Eigenvektoren sehen?

0,15 als EW und

\(\small EV \, :=  \, \left(\begin{array}{rrrrr}-2&-3&-4&-5&1\\1&0&0&0&1\\0&1&0&0&1\\0&0&1&0&1\\0&0&0&1&1\\\end{array}\right)\)

\(\small A \cdot EV = \left(\begin{array}{rrrrr}0&0&0&0&15\\0&0&0&0&15\\0&0&0&0&15\\0&0&0&0&15\\0&0&0&0&15\\\end{array}\right)\)

is gewagt, oder?

Zur Überprüfung

https://www.geogebra.org/m/upUZg79r

Comments

Aber dann könnte ich doch auch mittels der Dimensionsformel auf die geometrische Vielfachheit kommen. Mein Problem ist aber, dass Ich für das char Polynom recht lange gebraucht habe. Tut mir Leid, hab meine Frage falsch formuliert...;)

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Nach dem die Determinante A = 0 sein muss schließt man doch erstmal auf einen EW=0?

DimEigenraum zu 0:=n-rang(A - 0 E) = 4

und dann bleibt für den EW=15 (siehe Arsinoë4)

DimEigenraum zu 15:=n-rang(A - 15 E) = 1

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Vielen Dank!!!!