Zeigen Sie, dass das Volumen von Q_{A} gleich \operatorname{det} A ist.

Question

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(4) \( \left(3+7\right. \) Punkte) Es sei \( A \in \mathbb{R}^{3 \times 3} \) invertierbar mit den Spalten \( v_{1}, v_{2}, v_{3} \in \mathbb{R}^{3} \). Der geometrische Körper
$$ Q_{A}:=f_{A}\left([0,1]^{3}\right)=\left\{t_{1} v_{1}+t_{2} v_{2}+t_{3} v_{3}: t_{1}, t_{2}, t_{3} \in[0,1]\right\} $$
ist umrandet von sechs Parallelogrammen, deren gegenüberliegende Seiten je parallel und kongruent sind. Das Volumen von \( Q_{A} \) berechnet sich als Produkt der Fläche einer Seite mit der Höhe zur gegenüberliegenden Seite (d.h. dem Abstand der parallelen Ebenen, die durch die Seiten aufgespannt werden).
(a) Skizzieren Sie \( Q_{B} \) für \( B=\left(\begin{array}{lll}3 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right) \).
(b) Zeigen Sie, dass das Volumen von \( Q_{A} \) gleich \( \operatorname{det} A \) ist.

Comments

Hallo

skizzieren solltest du das och können? senkrechte auf eine Ebene und Entfernung von 2 Ebenen auch., Flächeninhalt Parallelogramm mit Kreuzprodukt.

Wo genau liegen deine Schwierigkeiten?

lul

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meine Schwierigkeiten ist skizzien .(3,2,2),(1,1,0)(1,0,0),(1,2,0)(1,0,3),(2,1,0)Ist es mit diesen sechs Punkten gemalt

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wie zeigen die Aufgabe (b)?

Answer 1

Hallo

wenn du in a) das Volumen bestimmt hast musst du in b) nur det(A) ausrechnen.

die Punkte, die du in "skizzien .(3,2,2),(1,1,0)(1,0,0),(1,2,0)(1,0,3),(2,1,0)" nennst versehe ich nicht, du hast doc h die ebenen , die durch v1 und v2 aufgespannt werden? und die t gehen jeweils nur von 0 bis 1?

lul