Aloha :)
Hier kannst du einfach integrieren, denn:$$\vec F(\vec r)=\operatorname{grad}f(\vec r)=\frac{\partial f}{\partial\vec r}\quad\implies\quad df=\vec F(\vec r)\,d\vec r$$Zur Integration des Vektorfeldes$$F(\vec r)=F(x;y;z)=\begin{pmatrix}\frac1y+\frac{z}{x^2}\\[1ex]\frac1z-\frac{x}{y^2}\\[1ex]-\frac1x-\frac{y}{z^2}\end{pmatrix}$$können wir den Startpunkt frei wählen, er führt später zu einer Integrationskonstanten. Weil wir \((0|0|0)\) wegen Division durch \(0\) nicht einsetzen dürfen, wählen wir als Startpunkt \((1|1|1)\). Als Endpunkt wählen wir \((X|Y|Z)\) in Großbuchstaben zur Unterscheidung von den Integrationsvariablen. Den Weg wählen wir möglichst einfach entlang der Koordinatenachsen$$\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\stackrel{\gamma_1}\to\begin{pmatrix}X\\1\\1\end{pmatrix}\stackrel{\gamma_2}\to\begin{pmatrix}X\\Y\\1\end{pmatrix}\stackrel{\gamma_3}\to\begin{pmatrix}X\\Y\\Z\end{pmatrix}$$Nach diesen Vorüberlegungen können wir die Funktion \(f\) berechnen:
$$f(X;Y;Z)=\int\limits_{\gamma_1}\vec F(\vec r)\,d\vec r+\int\limits_{\gamma_2}\vec F(\vec r)\,d\vec r+\int\limits_{\gamma_3}\vec F(\vec r)\,d\vec r$$$$\quad=\!\!\!\!\int\limits_{(1|1|1)}^{(X|1|1)}\begin{pmatrix}\frac1y+\frac{z}{x^2}\\[1ex]\frac1z-\frac{x}{y^2}\\[1ex]-\frac1x-\frac{y}{z^2}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}dx\\dy\\dz\end{pmatrix}+\!\!\!\!\int\limits_{(X|1|1)}^{(X|Y|1)}\begin{pmatrix}\frac1y+\frac{z}{x^2}\\[1ex]\frac1z-\frac{x}{y^2}\\[1ex]-\frac1x-\frac{y}{z^2}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}dx\\dy\\dz\end{pmatrix}+\!\!\!\!\int\limits_{(X|Y|1)}^{(X|Y|Z)}\begin{pmatrix}\frac1y+\frac{z}{x^2}\\[1ex]\frac1z-\frac{x}{y^2}\\[1ex]-\frac1x-\frac{y}{z^2}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}dx\\dy\\dz\end{pmatrix}$$Das sieht jetzt erstmal schlimm aus, zerfällt aber gleich in Luft. Ich habe das nur ausführlich hingeschrieben, damit du den Rechenweg besser verstehst.
Im 1-ten Integrtal sind \(y=1\) und \(z=1\) konstant und daher auch \(dy=0\) und \(dz=0\).
Im 2-ten Integrtal sind \(x=X\) und \(z=1\) konstant und daher auch \(dx=0\) und \(dz=0\).
Im 3-ten Integrtal sind \(x=X\) und \(y=Y\) konstant und daher auch \(dx=0\) und \(dy=0\).
$$f(X;Y;Z)=\int\limits_{x=1}^X\begin{pmatrix}1+\frac{1}{x^2}\\[1ex]1-x\\[1ex]-\frac1x-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}dx\\0\\0\end{pmatrix}+\int\limits_{y=1}^Y\begin{pmatrix}\frac1y+\frac{1}{X^2}\\[1ex]1-\frac{X}{y^2}\\[1ex]-\frac1X-y\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\dy\\0\end{pmatrix}+\int\limits_{z=1}^Z\begin{pmatrix}\frac1Y+\frac{z}{X^2}\\[1ex]\frac1z-\frac{X}{Y^2}\\[1ex]-\frac1X-\frac{Y}{z^2}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\0\\dz\end{pmatrix}$$$$f(X;Y;Z)=\int\limits_{1}^X\left(1+\frac{1}{x^2}\right)dx+\int\limits_{1}^Y\left(1-\frac{X}{y^2}\right)dy+\int\limits_1^Z\left(-\frac1X-\frac{Y}{z^2}\right)dz$$$$f(X;Y;Z)=\left[x-\frac1x\right]_{1}^X+\left[y+\frac{X}{y}\right]_{y=1}^Y+\left[-\frac{z}{X}+\frac{Y}{z}\right]_{z=1}^Z$$$$f(X;Y;Z)=\left(X-\frac1X\right)-\left(1-\frac11\right)+\left(Y+\frac{X}{Y}\right)-\left(1+X\right)+\left(-\frac{Z}{X}+\frac{Y}{Z}\right)-\left(-\frac{1}{X}+Y\right)$$$$f(X;Y;Z)=X-\frac{1}{X}+Y+\frac{X}{Y}-1-X-\frac{Z}{X}+\frac{Y}{Z}+\frac{1}{X}-Y$$$$f(X;Y;Z)=\frac{X}{Y}-\frac{Z}{X}+\frac{Y}{Z}-1$$
Die \((-1)\) am Ende ist eine Integrationskonstante, die wir bei der Angabe des Endergebnisses auch verallgemeinern können:$$\boxed{f(\vec r)=f(x;y;z)=\frac xy+\frac yz-\frac zx+\text{const}}$$
