Partielle Integration; Funktion bestimmen

Question

meine Aufgabe:

In der Vorlesung haben wir ∇f(x,y,z) = (∂f/∂x₁ , ∂f/∂x₂,....)  als Gradienten definiert.

Meine Idee war jetzt erstmal, die einzelnen partiellen Ableitungen zu bilden, also:

$\frac{d}{dx}$ = $\frac{-2*z}{x^{3}}$

$\frac{d}{dy}$ = $\frac{2*x}{y^{3}}$

$\frac{d}{dz}$ = $\frac{2*y}{z^{3}}$

Jetzt habe ich ja die einzelnen f. Meine Idee war jetzt die einzelnen f irgendwie "zusammen zu basteln"...

Leider komme ich da nicht weiter, denn die das x tritt ja zum Beispiel sowohl in $\frac{d}{dx}$ als auch in $\frac{d}{dy}$ auf.

Für Ideen wäre ich dankbar.

Liebe Grüße & bleibt gesund

Answer 1

Aloha :)

Hier kannst du einfach integrieren, denn:$$\vec F(\vec r)=\operatorname{grad}f(\vec r)=\frac{\partial f}{\partial\vec r}\quad\implies\quad df=\vec F(\vec r)\,d\vec r$$Zur Integration des Vektorfeldes$$F(\vec r)=F(x;y;z)=\begin{pmatrix}\frac1y+\frac{z}{x^2}\\[1ex]\frac1z-\frac{x}{y^2}\\[1ex]-\frac1x-\frac{y}{z^2}\end{pmatrix}$$können wir den Startpunkt frei wählen, er führt später zu einer Integrationskonstanten. Weil wir $(0|0|0)$ wegen Division durch $0$ nicht einsetzen dürfen, wählen wir als Startpunkt $(1|1|1)$. Als Endpunkt wählen wir $(X|Y|Z)$ in Großbuchstaben zur Unterscheidung von den Integrationsvariablen. Den Weg wählen wir möglichst einfach entlang der Koordinatenachsen$$\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\stackrel{\gamma_1}\to\begin{pmatrix}X\\1\\1\end{pmatrix}\stackrel{\gamma_2}\to\begin{pmatrix}X\\Y\\1\end{pmatrix}\stackrel{\gamma_3}\to\begin{pmatrix}X\\Y\\Z\end{pmatrix}$$Nach diesen Vorüberlegungen können wir die Funktion $f$ berechnen:

$$f(X;Y;Z)=\int\limits_{\gamma_1}\vec F(\vec r)\,d\vec r+\int\limits_{\gamma_2}\vec F(\vec r)\,d\vec r+\int\limits_{\gamma_3}\vec F(\vec r)\,d\vec r$$$$\quad=\!\!\!\!\int\limits_{(1|1|1)}^{(X|1|1)}\begin{pmatrix}\frac1y+\frac{z}{x^2}\\[1ex]\frac1z-\frac{x}{y^2}\\[1ex]-\frac1x-\frac{y}{z^2}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}dx\\dy\\dz\end{pmatrix}+\!\!\!\!\int\limits_{(X|1|1)}^{(X|Y|1)}\begin{pmatrix}\frac1y+\frac{z}{x^2}\\[1ex]\frac1z-\frac{x}{y^2}\\[1ex]-\frac1x-\frac{y}{z^2}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}dx\\dy\\dz\end{pmatrix}+\!\!\!\!\int\limits_{(X|Y|1)}^{(X|Y|Z)}\begin{pmatrix}\frac1y+\frac{z}{x^2}\\[1ex]\frac1z-\frac{x}{y^2}\\[1ex]-\frac1x-\frac{y}{z^2}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}dx\\dy\\dz\end{pmatrix}$$Das sieht jetzt erstmal schlimm aus, zerfällt aber gleich in Luft. Ich habe das nur ausführlich hingeschrieben, damit du den Rechenweg besser verstehst.

Im 1-ten Integrtal sind $y=1$ und $z=1$ konstant und daher auch $dy=0$ und $dz=0$.

Im 2-ten Integrtal sind $x=X$ und $z=1$ konstant und daher auch $dx=0$ und $dz=0$.

Im 3-ten Integrtal sind $x=X$ und $y=Y$ konstant und daher auch $dx=0$ und $dy=0$.

$$f(X;Y;Z)=\int\limits_{x=1}^X\begin{pmatrix}1+\frac{1}{x^2}\\[1ex]1-x\\[1ex]-\frac1x-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}dx\\0\\0\end{pmatrix}+\int\limits_{y=1}^Y\begin{pmatrix}\frac1y+\frac{1}{X^2}\\[1ex]1-\frac{X}{y^2}\\[1ex]-\frac1X-y\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\dy\\0\end{pmatrix}+\int\limits_{z=1}^Z\begin{pmatrix}\frac1Y+\frac{z}{X^2}\\[1ex]\frac1z-\frac{X}{Y^2}\\[1ex]-\frac1X-\frac{Y}{z^2}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\0\\dz\end{pmatrix}$$$$f(X;Y;Z)=\int\limits_{1}^X\left(1+\frac{1}{x^2}\right)dx+\int\limits_{1}^Y\left(1-\frac{X}{y^2}\right)dy+\int\limits_1^Z\left(-\frac1X-\frac{Y}{z^2}\right)dz$$$$f(X;Y;Z)=\left[x-\frac1x\right]_{1}^X+\left[y+\frac{X}{y}\right]_{y=1}^Y+\left[-\frac{z}{X}+\frac{Y}{z}\right]_{z=1}^Z$$$$f(X;Y;Z)=\left(X-\frac1X\right)-\left(1-\frac11\right)+\left(Y+\frac{X}{Y}\right)-\left(1+X\right)+\left(-\frac{Z}{X}+\frac{Y}{Z}\right)-\left(-\frac{1}{X}+Y\right)$$$$f(X;Y;Z)=X-\frac{1}{X}+Y+\frac{X}{Y}-1-X-\frac{Z}{X}+\frac{Y}{Z}+\frac{1}{X}-Y$$$$f(X;Y;Z)=\frac{X}{Y}-\frac{Z}{X}+\frac{Y}{Z}-1$$

Die $(-1)$ am Ende ist eine Integrationskonstante, die wir bei der Angabe des Endergebnisses auch verallgemeinern können:$$\boxed{f(\vec r)=f(x;y;z)=\frac xy+\frac yz-\frac zx+\text{const}}$$

Comments

Wow, bin gerade etwas überwältigt von deiner ausführlichen Antwort. Vielen vielen Dank! Ich bin zwar auf das gleiche Ergebnis gekommen, aber dank deiner habe ich die Systematik verstanden!

1000 Dank & Liebe Grüße

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Ich hatte die Aufgabenstellung so verstanden, dass du partielle Integration machen solltest. Und weil es hieß, der Rechenweg würde bewertet, habe ich ihn ausführlich aufgeschrieben. Mir ist wichtig, dass du das Prinzip verstanden hast. Von daher hat sich die Mühe schon gelohnt ;)

Answer 2

hallo

du willst nicht den grad von F sondern du suchst eine funktion f so dass grad(f)=F

also integrierst du F1 nach x, dabei bleibt eine Konstante abhängig von z und y. entsprechend dann F2

Gruß lul

Comments

d.h. für den ersten Term: f(x) = $\frac{x}{y}$ - $\frac{z}{x}$ ?

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Sodass ich am Ende habe:

f(x) =  $\frac{x}{y}$ - $\frac{z}{x}$ + $\frac{y}{z}$