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a) Gegeben sei die Fläche \( F_{1}:=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: z=x e^{y}, 0<x<1,0<y<1\right\} \).
Bestimmen Sie eine Parametrisierung von \( F_{1} \) und berechnen Sie den Fluss des Vektorfelds
$$ \vec{w}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, \vec{w}(x, y, z)=\left(x y, 4 x^{2}, y z\right)^{\top} $$
durch \( F_{1} \). Orientieren Sie die Fläche dabei so, dass der Normalenvektor eine positive \( z \) -Komponente hat.
b) Die Fläche \( F_{2} \) sei gegeben als der Teil der Kugeloberfläche \( x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 \), der im ersten Oktanten liegt (d.h. \( x, y, z>0) \). Bestimmen Sie eine Parametrisierung von \( F_{2} \) in Kugelkoordinaten und berechnen Sie den Fluss des Vektorfelds
$$ \vec{w}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, \vec{w}(x, y, z)=(x,-z, y)^{\top} $$
durch \( F_{2} \). Orientieren Sie die Fläche dabei so, dass der Normalenvektor in Richtung des Ursprungs zeigt.
Aufgabe:
Problem/Ansatz:
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