Bestimmen Sie eine Parametrisierung des Dreiecks D .

Question

Aufgabe:

Hallo, weiss jemand wie man ein Dreieck parametrisiert, also eine Dreiecksfläche, um schliesslich mithilfe des Stokeschen Satzes die Zirkulation zu berechnen.

Für Aufgabenstellung (siehe Bild).

Problem/Ansatz:

Text erkannt:

1. Aufgabe: Zirkulation eines Vektorfeldes

Betrachten Sie das Vektorfeld \( v: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \) gegeben durch \( v(x, y, z)=\left(-y^{2}, z, x\right) \) und sei \( \gamma=\partial D \) der Rand des Dreiecks \( D \), das die Schnittmenge der Ebene \( 2 x+2 y+z=6 \mathrm{mit} \) den drei Koordinatenebenen \( (x=0, y=0 \) und \( z=0) \) ist. Die Orientierung von \( \gamma \) ist durch den Normalvektor \( N(x, y, z)=(2,2,1) \) gegeben.
a) Bestimmen Sie eine Parametrisierung des Dreiecks \( D \).
b) Berechnen Sie das Integral \( I=\int \limits_{\gamma}\langle v, d \vec{x}\rangle \) des Vektorfeldes \( v \) längs der Kurve \( \gamma \).

Da die Kurve \( \gamma \) geschlossen ist, heißt dieses Integral Zirkulation von \( v \) längs \( \gamma \). Man schreibt \( I=\oint_{\gamma}\langle v, d \vec{x}\rangle \).

Habe es über den Rand versucht. Ist aber nicht richtig...
LG

Answer 1

In Beantwortung des Fragetitels:

Ein Dreieck entstammt einer Parameter-Ebene

E:x = a + r u + s v

deren Laufvariablen r+s=1 ergeben.

Comments

Text erkannt:

\( E: \underline{x}=\left(\begin{array}{l} 3 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)+u\left(\begin{array}{c} 3 \\ -3 \\ 0 \end{array}\right)+v\left(\begin{array}{c} 3 \\ 0 \\ -6 \end{array}\right) \)
Parmefricicung
\( \Rightarrow r(u, v)=\left(\begin{array}{c} 3+3 u+3 v \\ -3 u \\ -6 v \end{array}\right) \quad 1^{u+v}=1 \)

Eine Frage: Gibt es eine konkrete und knappe Erklärung zum Term r+s=1

Könnte interessant werden^^

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hm,

für r=0..1 & s=0..1 -> parallelogramm -> parallelogramm/2 -> dreieck r+s=1 ->je grösser s desto kleiner r und umgekehrt

noch ein paar bauformen

https://www.geogebra.org/m/NXx4E8cb#material/wmrwnzdk

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Verstehe nicht wie man den Rand des Dreiecks definiert, dafür müsste es ja konstanten für r und s geben ...,^^

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Jetzt hab ich es. Man berechnet die Zirkulation nicht über den Rand sondern über die Fläche.

Text erkannt:

b)
\( \begin{array}{l} \underline{n}=\left(\begin{array}{l} 2 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right) \\ \iint_{F} \operatorname{rot} v d \underline{0}, \operatorname{rot} \underline{v}=\left(\begin{array}{c} 0-1 \\ 0-1 \\ 0+2 y \end{array}\right), \rightarrow\left(\begin{array}{c} -1 \\ -1 \\ \bar{x} 6 u \end{array}\right) \\ E: \underline{x}=\left(\begin{array}{l} 3 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)+s\left(\begin{array}{r} -3 \\ 3 \\ 0 \end{array}\right)+t\left(\begin{array}{r} -3 \\ 0 \\ 6 \end{array}\right) \\ n=\left(\begin{array}{cc} 0 & -18 \\ -18 & 0 \\ -9 & 0 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} -18 \\ -18 \\ -9 \end{array}\right) \\ \end{array} \)
\( \Rightarrow n \) zeigh in untrequrnethte Richting
\( \begin{array}{l} \underline{n}=\left(\begin{array}{c} 18 \\ 18 \\ 9 \end{array}\right)=g \cdot\left(\begin{array}{l} 2 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right) \\ \iint_{F} v 9 \cdot \theta \underline{D}=g \cdot \int \limits_{0}^{1} \int \limits_{0}^{1-u}-4+6 u d v d u \\ =g \cdot \int \limits_{0}^{1}-4+4 u+6 u[1-u] d u \\ =g \cdot(-4+2+3-2)=-g \end{array} \)
miro

Answer 2

Schau mal hier. (Kannst das Ding auch drehen.)

Du bildest die Achsen-Abschnitt-Form der Ebenengleichung:
$$\frac x3 + \frac y3 + \frac z6=1$$

Damit hast du die 3 Eckpunkte des Dreiecks (3,0,0), (0,3,0), (0,0,6).

Und jetzt parametrisierst du diese Geradenstückchen zwischen diesen 3 Punkten wie üblich und bekommst den Rand.

Mit etwas Vektorrechnung bekommst du aus diesen 3 Punkten auch das gesamte Dreieck parametrisiert.

Comments

Danke für die Übersicht. Mir fehlte bisher allerdings nur genau der Rest

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Text erkannt:

b)
\( \int \limits_{q}^{q} J d s= \)
1. \( y_{4}=x=\left(\begin{array}{l}0 \\ q\end{array}\right)+1\left(\begin{array}{c}3 \\ 0 \\ -6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3 t \\ 0 \\ 6-6 t\end{array}\right) \)
2. \( g^{\prime}(t) \cdot\left(\begin{array}{c}3 \\ -i \\ -6\end{array}\right) \)
3. \( \left.\int \limits_{0}^{1} t\left(\begin{array}{c}0 \\ 6-6 t \\ 3 t\end{array}\right)\right)\left(\begin{array}{c}3 \\ 0 \\ -6\end{array}\right)>d t \)
\( =\int \limits_{0}^{A}-13 t d t=-\frac{18}{2}=-9 \)
\( \int \limits_{g_{2}} \underline{u} d \underline{x} \).
1. \( g_{2} \cdot \underline{x}=\left(\begin{array}{l}3 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{c}-3 \\ 2 \\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3-3 t \\ 3 t \\ 0\end{array}\right) \)
\( 2 g_{2}(t) \quad=\left(\begin{array}{r}-3 \\ 3 \\ 0\end{array}\right) \)
3. \( \left.\hat{k}\left(\begin{array}{c}9 t^{2} \\ 0 \\ 3 t\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}-3 \\ 3 \\ 0\end{array}\right)\right\rangle d t \)
\( =\int \limits_{0}^{1} 17 t^{2} d t=\frac{27}{3}=\frac{9}{2} \)
\( \int \limits_{g}^{g} v d \underline{x} \)
1. \( \beta=\left(\begin{array}{l}0 \\ \vdots \\ 0\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{c}0 \\ 3 \\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0 \\ 3-3 t \\ 6 t\end{array}\right) \)
2. \( g^{\prime}(t)=\left(\begin{array}{c}0 \\ -3 \\ 6\end{array}\right) \)
3. \( \left.\int \limits_{0}^{1}<\left(\begin{array}{c}-\left(9-12 t+0 t^{2}\right) \\ 6 t \\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}c \\ -7 \\ 6\end{array}\right)\right) d t \)
\( =\int \limits_{0}^{1}-18 t d t=-9 \)
\( \Rightarrow I=-g \)

Die 1b) der Übersicht halber