Wie bestimmt man hier den Grenzwert?

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

(a.2) Bestimmen Sie bitte den Grenzwert Folge \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) :
Hinweis: Sollten Sie (a.1) nicht bearbeitet haben, dürfen Sie mit \( a_{n}=\frac{n^{2}}{n^{2}+2 n+1} \) weiterarbeiten:

Problem/Ansatz:

Wie bestimmt man den Grenzwert?

Answer 1

Hallo,

Für n ----->∞

-Klammere im Nenner n^2 aus

=n^2(1 +2/n+1/n^2)

-Kürze n^2

\( \lim\limits_{n\to\infty} \) =1/ (1 +2/n+1/n^2) =1/(1 +0+0) =1

Answer 2

\( a_{n}=\frac{n^{2}}{n^{2}+2 n+1} \)

\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{n^{2}}{n^{2}+2 n+1} \rightarrow \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{n^{2}}{n^{2}}}{\frac{n^{2}}{n^{2}}+\frac{2 n}{n^{2}}+\frac{1}{n^{2}}}=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{1+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^{2}}} \rightarrow 1 \)

Oder auch mit der Regel von \( \mathrm{L} \) 'Hospital:

\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{n^{2}}{n^{2}+2 n+1} \rightarrow \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{2 n}{2 n+2} \rightarrow \frac{2}{2}=1 \)

Answer 3

Aloha :)

$$a_n=\frac{n^2}{n^2+2n+1}=\frac{n^2}{(n+1)^2}=\left(\frac{n}{n+1}\right)^2=\left(\frac{n+1-1}{n+1}\right)^2=\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^2$$

Jetzt siehst du sehr schön, dass \((a_n)\) für \(n\to\infty\) von unten her gegen \(1\) konvergiert.

Comments

Viele Wege führen in die ewige Stadt! :)

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Jede Colonia war durch eine direkte Straße mit Rom verbunden. In Köln gibt es diese Straße noch, es ist die Severinsstraße ;)

Answer 4

Kürzen mit n^2:

1/(1+2/n+1/n^2) = 1/(1+0+0) = 1 für n gg. oo