Bestimmen sie eine Basis von Kern(f) und im(f)

Question

Aufgabe:

Wir betrachten die Abbildung f: ℝ³ → ℝ⁴ definiert durch f(x,y,z) = \( \begin{pmatrix} 2x+y-z\\x-2y\\0\\x+2y-z \end{pmatrix} \)

a) Zeigen Sie, dass f eine lineare Abbildung von ℝ-Vektorräumen ist.

b) Bestimmen Sie eine Basis von Kern(f)

c) Bestimmen Sie eine Basis von im(f)

Problem/Ansatz:

a) bereits gezeigt

b) Kern(f) = {\( \begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix} \)}

c) im(f)={λ₁ \( \begin{pmatrix} 2\\1\\0\\1 \end{pmatrix} \)+ λ₂ \( \begin{pmatrix} 1\\-2\\0\\2 \end{pmatrix} \)+λ₃ \( \begin{pmatrix} -1\\0\\0\\1 \end{pmatrix} \)}

Stimmt das überhaupt so? Die Basis von Kern(f) müsste dann ja die Leere Menge sein, oder?

Und was wäre dann die Basis von im(f)?

Answer 1

Richtig, da der Kern deiner linearen Abbildung der Nullvektorraum ist, ist die leere Menge eine Basis des Kerns.

Für die Basis des Bildes musst du schauen, ob die Vektoren \( \begin{pmatrix} 2\\1\\0\\1 \end{pmatrix} \), \( \begin{pmatrix} 1\\-2\\0\\2 \end{pmatrix} \) und \( \begin{pmatrix} -1\\0\\0\\1 \end{pmatrix} \), welche die Bildmenge der Abbildung aufspannen eine Basis dieses Raumes bilden. (Welche Eigenschaften musst du dafür nochmal prüfen? Hint: Dass die Vektoren ein Erzeugendensystem von im(f) bilden, bekommst du geschenkt!)

Comments

Für eine Basis müssen folgende Eigenschaften gelten:

Jedes Element des Vektorraums lässt sich als Linearkombination von Vektoren aus B darstellen und diese Darstellung ist eindeutig.

B ist ein minimales Erzeugendensystem des Vektorraums, jeder Vektor aus dem Vektorraum lässt sich also als Linearkombination aus B darstellen.

B ist eine maximale linear unabhängige Teilmenge vom Vektorraum. Wird also ein weiteres Element zu B hinzugefügt, ist die neue Menge nicht mehr linear unabhängig.

B ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem vom Vektorraum.

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Ja genau. Das heißt, du musst noch auf lineare Unabhängigkeit prüfen (denn ein Erzeugendensystem des Bildes sind die Vektoren ja in jedem Fall, das hast du schon gezeigt, indem du die Menge im(f) durch deine drei Vektoren aufgespannt hast) — falls die drei Vektoren linear unabhängig sind, bist du fertig. Falls nicht musst du überlegen, welchen Vektor du rauswerfen kannst, ohne dass sich der aufgespannte Raum ändert.

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Die Vektoren dürften linear unabhängig sein, meine ich. Die Basis schreibe ich dann jetzt so auf

B= {\( \begin{pmatrix} 2\\1\\0\\1\end{pmatrix} \), \( \begin{pmatrix} 1\\-2\\0\\2\end{pmatrix} \), \( \begin{pmatrix} -1\\0\\0\\1 \end{pmatrix} \)} ?

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Jap. Genau! ^^

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Okay, vielen Dank.

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Kleiner Tipp noch, weil ich gerade drüber geschaut habe: Der letzte Vektor müsste (-1, 0, 0, -1) sein. Da hast du wohl das Minus bei der Abb. f übersehen. :D

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Ja, ist mir auch aufgefallen, das hab ich hier beim aufschreiben vergessen. Danke dir.

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Hui, da hatten wir wohl beide Tomaten auf den Augen :D