Ich komme aktuell nicht drauf wie ich b) löse, a) sollte ja eigentlich die Menge aller Vektoren die im 90 Grad …

Question

Aufgabe 3
Sei \( M=\left\{\left(\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right) \in R^{3} \mid\left(\left(\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{c}1 \\ 2 \\ 3\end{array}\right)\right)=0\right\} \) eine Teilmenge des \( R^{3} \), d. h. \( M \) besteht aus allen
Vektoren, deren Skalarprodukt mit \( \left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 3\end{array}\right) \) den Wert 0 ergibt.
a) Beschreiben Sie die Menge \( M \) geometrisch.
b) Prüfen Sie mit Hilfe der Definition, ob \( M \) ein Unterraum des \( \mathbb{R}^{3} \) ist.

Problem/Ansatz:

Ich komme aktuell nicht drauf wie ich b) löse, a) sollte ja eigentlich die Menge aller Vektoren die im 90 Grad Winkel zu dem Vektor stehen bzw. senkrecht auf diesem oder nicht bzw. würde das eine ausreichende Antwort sein?

Answer 1

Aloha :)

zu a) Die Menge \(M\) enthält alle Vektoren, die vom Ursprung zu einem Punkt der Ebene$$E\colon x+2y+3z=0$$führen. Diese Vektoren stehen alle senkrecht auf dem Normalenvektor \((1;2;3)^T\).

zu b) Wir haben es hier mit einer Ebene zu tun, die durch den Urpsrung geht. Die Ebene ist daher ein Unterraum des \(\mathbb R^3\). Wir prüfen das aber nochmal anhand der Kriterien nach:

b1) Der Nullvektor ist in \(M\) enthalten, denn:\(\quad0+2\cdot0+3\cdot0=0\quad\checkmark\)

b2) \(M\) ist abgeschlossen bezüglich der Addition.$$\vec a,\vec b\in M\implies\vec a\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}=0\;\land\;\vec b\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}=0\implies \left(\vec a+\vec b\right)\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}=0\implies (\vec a+\vec b)\in M$$

b3) \(M\) ist abgeschlossen bezüglich der Skalar-Multiplikation:$$\lambda\in\mathbb R\,,\,\vec a\in M\implies(\lambda\cdot\vec a)\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}=\lambda\cdot\left[\vec a\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\right]=\lambda\cdot0=0\implies(\lambda\cdot\vec a)\in M$$

Answer 2

Hallo

das ist eher die Antwort auf a) aber nicht sehr gut.

x+2y+3z=0 beschreibt doch eine Ebene durch 0. also ist es ein UVR

oder du weisst nach 1. der Nullvektor gehört dazu. 2, mit einem Vektor auch ein vielfaches , und mit 2 Vektoren auch ihre Summe. so weisst man UVR immer allgemein nach

Gruß lul