wieso ist die Extremstelle x=1 ein Tiefpunkt?

Question

Aufgabe: (x^2-1)(x-1)^3

Problem/Ansatz:

wieso ist die Extremstelle x=1 ein Tiefpunkt? Bedingung ist doch f">0

Danke

Answer 1

Immer funktionierende Bedingung ist "Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung von negativen zu positiven Werten".

Answer 2

Vereinfache die Funktion etwas:

f(x) = (x^2 - 1)·(x - 1)^3
f(x) = (x + 1)·(x - 1)·(x - 1)^3
f(x) = (x + 1)·(x - 1)^4

Bei x = -1 hat man eine Nullstelle mit VZWvon - nach +
Bei x = 1 hat man eine 4-fache Nullstelle mit VZW von + nach + also einen Tiefpunkt

Skizze

~plot~ (x^2-1)·(x-1)^3;[[-2|2|-1|3]] ~plot~

Answer 3

Hallo f''>0 ist nur eine hinreichende Bedingung, keine notwendige, wenn f''=0 muss man weiter differenzieren wenn die erste  Ableitung, die nicht 0 ist einer gerade Ableitung  ist (hier die 4 te ist es ein Min. )

einfacheres Beispiel y=x^4

y'(0)=0 y''(0)=0 y'''(0)=0 y''''(0)=12>0

falls man keine Lust hat so oft abzuleiten, kann man einfach sehen dass für x etwa >1 und etwa <1 f(x) immer positiv ist also >f(1), deshalb ein Min,

Gruß lul