Unendliche Menge, die subjektiv aber nicht injektiv ist

Question

Aufgabe:

Eine Menge M ist genau dann unendlich, wenn es eine Abbildung B : M → M gibt, die surjektiv aber nicht injektiv ist.

Kann mir jemand erklären warum die unendliche Menge subjektiv, aber nicht injektiv ist?

Comments

Kann mir jemand erklären warum die unendliche Menge subjektiv, aber nicht injektiv ist?

Kannst du erklären, wie du auf diese eigenartige Deutung der Aufgabe gekommen bist?

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Mein Dozent hat mir versucht zu erklären, dass man auf der unendliche Menge eine Bijektion findet, die aber nicht injetkiv ist. Ich versteh aber nicht wie er darauf gekommen ist.

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die surjektiv aber nicht injektiv ist.

Mit dem "die" in diesem Relativsatz ist die Abbildung B gemeint. Es ist nicht die Menge M gemeint.

Answer 1

Zu den Begrifflichkeiten:

Zuallererst mal:  vergiss in diesem Zusammenhang das Wort "subjektiv" !!

Hier geht es um die Begriffe "injektiv" und "surjektiv".

Nehmen wir mal zunächst ein einfaches Beispiel:  Die Menge ℕ der natürlichen Zahlen (ℕ inklusive die Null) ist unendlich. Eine Abbildung, welche ℕ surjektiv auf ℕ  abbildet, wäre zum Beispiel die Funktion f mit f(k) = ⌊k/2⌋ .

Eine Bijektion zu finden, welche nicht injektiv ist, ist aber einfach ausgeschlossen, denn eine Bijektion ist definitionsgemäß eine Abbildung, welche zugleich injektiv und surjektiv ist.

Ferner: Mengen sind weder injektiv, surjektiv, bijektiv noch subjektiv .....

(den Beweis für die angegebene Behauptung habe ich hier natürlich noch nicht geliefert)