Kann ich diese Aufgabe auch ohne die Hilfe von l'hopital lösen?

Question

Ich suche den Grenzwert gegen 0 von dieser Aufgabe:

\( \lim \limits_{x \rightarrow 0}\left(\frac{e^{x}-1}{x^{2}}-\frac{1}{x}\right) \)

Mit hilfe von l'hopital komme ich auf 0,5.

Kann ich diese Aufgabe auch ohne die Hilfe von l'hopital lösen?

Answer 1

Aloha :)

Da die Potenzreihe der \(e\)-Funktion für alle \(x\in\mathbb R\) konvergiert, können wir so rechnen:$$\phantom{=}\frac{e^x-1}{x^2}-\frac{1}{x}=\frac{e^x-1}{x^2}-\frac{x}{x^2}=\frac{e^x-1-x}{x^2}=\frac{\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}-1-x}{x^2}$$$$=\frac{\left(\frac{x^0}{0!}+\frac{x^1}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\sum\limits_{n=3}^\infty\frac{x^n}{n!}\right)-1-x}{x^2}=\frac{\frac{x^2}{2}+\sum\limits_{n=3}^\infty\frac{x^n}{n!}}{x^2}=\frac{\frac{x^2}{2}+x^3\sum\limits_{n=3}^\infty\frac{x^{n-3}}{n!}}{x^2}$$$$=\frac{1}{2}+x\cdot\sum\limits_{n=3}^\infty\frac{x^{n-3}}{n!}$$Der Grenzwert für \(x\to0\) ist offensichtlich \(\frac12\).

Answer 2

Du könntest e^x mit der Taylorreihe im Entwicklungspunkt 0 angeben.