Anwendungsbeispiel Varianz, Wahrscheinlichkeit,

Question

Aufgabe:

Ein Unternehmen produziert ein Produkt, bei dem sich die Herstellungskosten pro Stück auf 800 Euro belaufen. Pro Stück ist jeweils genau ein Bauteil B₁ und ein Bauteil B₂ verbaut. Während der Garantiezeit fällt das Bauteil B₁ mit einer Wahrscheinlichkeit von p₁ = 0.2 und das Bauteil B₂, davon unabhängig mit einer Wahrscheinlichkeit von p₂ = 0.01. Die Reparaturkosten von Bauteil B₁ bzw. B₂ betragen 30 Euro bzw. 400 Euro.

(i) Wie hoch sind die erwarteten Reparaturkosten X des Produkts innerhalb der Garantiezeit? Bestimmen Sie auch die Varianz.

(ii) Zu welchem Preis muss das Produkt verkauft werden, um einen Reingewinn von mindestens 150 Euro zu erwarten?

(iii) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit höchstens dafür, dass die Gesamtreparaturkosten Y bei einem Verkauf von 500 Geräten mehr als 1000 Euro vom erwarteten Wert abweichen?

(iv) Wie viele Produkte müssen mindestens verkauft werden, wenn die anfallenden durchschnittlichen Gesamtreparaturkosten Z_n mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95%, um weniger als 10 Euro vom Erwartungswert abweichen sollen?

Hinweis: Sie dürfen bei der ganzen Aufgabe annehmen, dass die Varianz additiv ist,
d.h. für zwei Zufallsvariablen X, Y gilt Var(X + Y ) = Var(X) + Var(Y ).

Problem/Ansatz:

Leider komme ich bei der Aufgabe nicht weiter. Ich hoffe, dass mir jemand helfen kann.

Answer 1

(i) Wie hoch sind die erwarteten Reparaturkosten X des Produkts innerhalb der Garantiezeit? Bestimmen Sie auch die Varianz.

E(X) = 30·0.2 + 400·0.01 = 10

V(X) = (30^2·0.2 - 6^2) + (400^2·0.01 - 4^2) = 1728