Varianz, Wahrscheinlichkeit, Abschätzung

Question

Aufgabe: Eine Zufallsvariable nehme nur Werte aus dem Intervall [0,12] an. X habe den Erwartungswert 10 und die Varianz 0,45. Schätzen Sie die Wahrscheinlichkeit P(X≤7) nach oben ab.

Mein Ansatz war die Ungleichung von Chebyshiev, aber ich komm gerade einfach nicht weiter.

Habe das ganze mit einer abgewandelten Formel versucht: P{X≥λ}≤\( \frac{E(X)}{λ} \)

aber hier verwende ich doch gar nicht die Varianz und meine Abschätzung nach oben wird negativ (-\( \frac{3}{7} \))

Vielen Dank jetzt schon

Answer 1

Gegebene Werte:

μ = 10 ; σ^2 = 0,45

Damit erhalten wir die Standardabweichung

σ = √0.45 = 0.6708

Gesuchte Wahrscheinlichkeit:

P(X ≤ 7)

P(X - 10 ≤ -3)

P(|X - 10| ≥ 3) beinhaltet die Fälle X ≤ 7 als auch X ≥ 13. X ≥ 13 kann allerdings nicht von der Zufallsgröße angenommen werden. Damit können wir über Tschebyscheff abschätzen.

P(|X - μ| ≥ k·σ) ≤ 1/k^2

mit k = 3/σ = 3/0.6708 = 4.472

P(|X - 10| ≥ 3) ≤ 1/4.472^2 = 0.05000

Damit ist die Wahrscheinlichkeit P(X ≤ 7) nach oben durch 0.05 abgeschätzt.

Comments

P(|X - 10| ≤ 3) beinhaltet die Fälle X ≤ 7 als auch X ≥ 13.

Nein.

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Ach. Ich glaube da habe ich mich in den Ungleichheitszeichen vertippt.

Tippfehler sollten jetzt korrigiert sein.

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Vielen Dank für die ausführliche und verständliche Antwort,

habe nur eine Frage bei dem Schritt von P(X - 10 ≤ -3) zu P(|X - 10| ≥ 3)

hast du hier einfach auf beiden Seiten den Betrag hinzugefügt, oder?

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hast du hier einfach auf beiden Seiten den Betrag hinzugefügt, oder?

Genau.

Answer 2

Es gilt

\(P(X\leq 7)=P(|X-10|\geq 3)\).

Das solltest du mit Tschebyscheff abschätzen können.

Comments

sollte nicht \( P(X\leq 7) = 1-P(X>7) \) sein?

Bzw. warum nimmst du an, dass \(X\) diskret ist?

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Oh danke... guter Einwand. Ich arbeite einfach zu viel mit diskreten Verteilungen. Habe die Antwort korrigiert. :)