Da ausführliche Erklärung erwünscht:
Eine Basis ist eine Menge von Vektoren eines Vektorraumes, die
- ein Erzeugendensystem des Vektorraumes bilden, d.h. jeder Vektor des Vektorraumes entsteht durch Linearkombination dieser Vektoren
- linear unabhängig sind
In der Aufgabe hast du bereits gegeben, dass \(U=\langle (1,2,-1)^T, (1,-1,2)^T, (1,0,1)^T\rangle\), d.h. \(U\) entspricht dem Erzeugnis dieser drei Vektoren (die drei Vektoren bilden also ein Erzeugendensystem von \(U\)).
Damit musst du nur noch überprüfen, ob die drei Vektoren linear unabhängig sind.
Wären sie das, dann wäre die Menge bestehend aus den drei Vektoren eine Basis von \(U\).
Allerdings sind die Vektoren hier nicht linear unabhängig, denn
$$\frac{1}{3}\cdot (1,2,-1)^T + \frac{2}{3} \cdot (1,-1,2)^T = (1,0,1)^T$$
Da jeder Vektor, der über Linearkombination mit \((1,0,1)^T\) entstanden ist, auch durch Linearkombination von nur \((1,2,-1)^T\) und \((1,-1,2)^T\) entsteht, kann der Vektor \((1,0,1)^T\) also gestrichen werden und es gilt trotzdem \(U=\langle (1,2,-1)^T, (1,-1,2)^T\rangle\),
(Im Übrigen ist es hier auch möglich an Stelle von \((1,0,1)^T\) einen der beiden anderen Vektoren zu streichen...)
Da die restlichen zwei Vektoren \((1,2,-1)^T\) und \((1,-1,2)^T\) linear unabhängig sind, wäre eine mögliche Basis für \(U\) also \(\{(1,2,-1)^T, (1,-1,2)^T\}\).
