Hallo,
Die Funktion ist allen Anschein nach kubisch (d.h. 3.Ordnung) und hat eine doppelte Nullstelle bei \(x=0\) und eine bei \(x=3\). Folglich lautet der Ansatz$$f(x) = ax^2(x-3)$$bei \(A(2|\,1)\) ist ein Punkt der Funktion. Daraus folgt$$f(2) = a\cdot 2^2(2-3) = 1 \implies a = -\frac 14$$Die Lösung ist also
~plot~ (-1/4)*x^2(x-3);{2|1} ~plot~
$$f(x) = -\frac 14x^2(x-3) = -\frac14 x^3 + \frac34x^2$$
Da es eine Funktion 3.Grades ist bin ich davon ausgegangen, dass es ax3+bx2+cx+d lauten müsse ..
das ist sehr allgemein. Und hier gar nicht nötig (s.o.)
... in der Lösung steht als Ansatz aber ax3+bx2+c ...warum ist das so?
wahrscheinlich macht man sich gleich zu nutze, dass die Steigung bei \(x=0\) auch 0 ist. Also$$f(x) = ax^3+bx^2+cx+d \\ f'(x)=3ax^2+2bx + c \quad f'(0)=0 \implies c =0$$wobei man dann auch gleich \(d=0\) setzen kann ;-)
Außerdem wie löst man das Gleichungssystem mit dem Einzetzungsverfahren?
Die brauchst vier Bedingungen für die vier Parameter \(a\), \(b\), \(c\) und \(d\). Offensichtlich ist$$f(2)=1, \quad f'(2)=0, \quad f(0)=0$$ob man als vierte Bedingung \(f'(0)=0\) oder \(f(3)=0\) benutzt, führt hier glücklicherweise zum gleichen Ergebnis. Ich nutze mal erstere. Aus $$f(0) = a\cdot 0 + b \cdot 0 + c\cdot 0 + d = 0$$folgt \(d=0\), Und wegen \(f'(0)=0\) ist auch \(c=0\) (s.o.). Dann bleibt$$\begin{aligned} f(2) = a\cdot 2^3 + b \cdot 2^2 &= 1\\ f'(2) = 3a\cdot 2^2 + 2b\cdot 2&= 0\end{aligned}$$Wählst Du das Einsetzverfahren, so isoliere aus der ersten Gleichung das \(b\)$$8a+4b=1 \implies b=\frac14(1-8a)$$und das setzt Du in die zweite Gleichung ein$$\begin{aligned} 12a +4b &= 0 \\ 12a+4\left(\frac14(1-8a)\right) &= 0 &&\left|\,4\cdot\frac14 = 1\right. \\12a + 1-8a &= 0 &&|\, -1\\ 4a &= -1 &&|\,\div 4 \\ a &= -\frac14\\ \end{aligned}$$und das so gewonnene \(a\) wieder in die Gleichung für \(b\) einsetzen$$b=\frac14\left(1-8\cdot \left(-\frac14\right) \right) = \frac14(1+2) = \frac34$$ Gruß Werner
