Berechnen Sie das unbestimmte Integral mit Hilfe einer Substitution?

Question

Aufgabe:

(a) Berechnen Sie das unbestimmte Integral mit Hilfe einer Substitution.
\( \int \frac{d x}{\cos ^{2} x \cdot \sqrt{\tan x}} \)

Ich habe Schwierigkeiten bei dieser Aufgabe.. wie geht man hier voran, wenn man cosinus tangens hat oder wie wird dx irgendwie umgewandelt..

Answer 1

Aloha :)

Schau dir mal die folgende Umformung an:$$\cos^2x=\frac{1}{\frac{1}{\cos^2x}}=\frac{1}{\frac{\cos^2x+\sin^2x}{\cos^2x}}=\frac1{1+\tan^2x}$$Daher bietet sich folgende Substitution an:$$u\coloneqq\tan x\implies\frac{du}{dx}=1+\tan^2x=1+u^2\implies dx=\frac{du}{1+u^2}$$

Damit wird das Integral zu:$$I=\int\limits\frac{dx}{\cos^2x\cdot\sqrt{\tan x}}=\int\limits\frac{dx}{\frac{1}{1+\tan^2x}\cdot\sqrt{\tan x}}=\int\limits\frac{\frac{du}{1+u^2}}{\frac{1}{1+u^2}\cdot\sqrt u}=\int\limits\frac{du}{\sqrt u}$$$$\phantom{I}=\int u^{-\frac12}\,du=2u^{\frac12}+\text{const}=2\sqrt{\tan x}+\text{const}$$

Comments

Wie kommst du drauf bei Cos^2 x sinus zu nehmen? Ist es die Ableitung dazu oder wie wird es? und dann dass es zu 1/ 1+tan^2 x wird.. ? :/

Oh man diese Aufgabe ist echt kompliziert.. lerne für eine Prüfung die am Samstag stattfinden wird..

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Ich habe den trigonometrischen Pythagoras verwendet:$$\sin^2x+\cos^2x=1$$und damit den Zähler des Bruches umgeschrieben:

$$\frac1{\cos^2x}=\frac{\cos^2x+\sin^2x}{\cos^2x}=\frac{\cos^2x}{\cos^2x}+\frac{\sin^2x}{\cos^2x}=1+\tan^2x$$

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Noch eine Frage.. woher kommt die 2 am ende? also "2*u^1/2"

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Beim Integrieren musst du den Exponenten um 1 erhöhen und dann durch den neuen Exponenten dividieren:$$u^{-\frac12}\to\frac{u^{\frac12}}{\frac12}$$Durch einen Bruch wird dividiert, indem man mit dem Kehrwert multipliziert:$$u^{-\frac12}\to\frac{u^{\frac12}}{\frac12}\to2u^{\frac12}$$

Answer 2

Ich würde den Tangens substituieren durch einen Buchstaben u, dann integrierst du wie gewohnt und danach ersetzt du u durch tangens wieder.