Hallo Leo,
Willkommen in der Mathelounge!
Beweise: Vektor u * Vektor v = Betrag Vektor u * Betrag Vektor v * cos(alpha)
Heißt doch zu beweisen, dass bei zwei Vektoren \(\vec a\) und \(\vec b\) eine Verknüpfung \(\left<\vec a,\,\vec b\right>\) existiert, für die gilt$$\sum_{i=1}^n a_ib_i = |\vec a| \cdot |\vec b| \cdot \cos(\alpha)$$wobei die \(a_i\) bzw. \(b_i\) Koeffizienten des jeweiligen Vektors in einem beliebigen (kartesischen) Koordinatensystem sind. ich nenne die linke Seite mal die kartesische Seite und die rechte die geometrische.
Im ersten Schritt zeige ich, dass jede Seite linear ist, d.h. es gilt$$\left<\vec a,\,\vec x+\vec y\right> = \left<\vec a,\,\vec x\right> + \left<\vec a,\,\vec y\right>$$für die kartesische Seite ist das trivial (probier's mal selber!) und geometrisch ist die Überlegung wie folgt
betrachtet man zwei Vektoren \(\vec a\) und \(\vec b\) (beide blau), mit ihrem Winkel \(\angle ab\) (blau), dann ist ihr Skalarprodukt (geometrisch)$$\left<\vec a,\,\vec b\right> = |\vec a| \cdot (|\vec b| \cdot \cos(\angle ab)) = |\vec a| \cdot (p+q)$$\(p\) und \(q\) sind der grüne und rote Streckenabschnitt auf \(\vec a\). Genauso lässt sich für die Vektoren \(\vec x\) (gelb) und \(\vec y\) (rot) ablesen$$\left<\vec a,\,\vec x\right>=|\vec a| \cdot(|\vec x| \cdot \cos(\angle ax))=|\vec a| \cdot p\\\left<\vec a,\,\vec y\right>=|\vec a| \cdot (|\vec y| \cdot \cos(\angle ay)) = |\vec a| \cdot q$$addiert man beide Gleichungen kommt man zur oberen.
Im zweiten Schritt zerlegt man beide Vektoren in die Linearkombination ihrer kanonischen Einheitsvektoren \(\vec e_i\). Also $$\vec a=\sum_{i=1}^n a_i\vec e_i, \quad \vec b =\sum_{i=1}^n b_i\vec e_i $$Im kartesichen Fall ist leicht nachvollziehbar, dass $$e_j \cdot e_k = \begin{cases}0& j \ne k\\ 1&j=k\end{cases}$$Und für den geometrischen Teil gilt zum einen$$|\vec e_i| = 1 \space \forall i \in [1\dots n]$$und zum anderen $$\angle(e_j,\,e_k) = \begin{cases}90°& j \ne k\\ 0°&j=k\end{cases}$$Setzt man beides auf der jeweiligen Seite ein, bleibt es beim kartesischen Teil bei der bekannten Summenformel und auf der geometrischen Seite wird daraus$$|\vec a| \cdot |\vec b| \cdot \cos(\alpha) \\ \quad = \sum_{j=1}^n \sum_{k=1}^n a_j\underbrace{|\vec e_j|}_{=1}\cdot b_k \underbrace{|\vec e_k|}_{=1} \cdot \cos(\angle(e_j,\,e_k))\\ \quad = \sum_{j=1}^n \sum_{k=1}^n a_j\cdot b_k \cdot \underbrace{\cos(\angle(e_j,\,e_k))}_{=0, \quad j\ne k}\\\quad =\sum_{i=1}^n a_ib_i \cdot \underbrace{\cos(\angle(e_i,\,e_i))}_{=\cos(0°)=1}\\\quad=\sum_{i=1}^n a_ib_i $$q.e.d. & Gruß Werner
