Eigenvektoren von A berechnen

Question

Aufgabe:

$$A=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$

Eigenvektoren berechnen

Ansatz:

Komme da leider nicht weiter

$$\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} λ & 0 \\ 0 & λ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2-λ & 1 \\ 0 & 1-λ \end{pmatrix}$$

$$det[ \begin{pmatrix} 2-λ & 1 \\ 0 & 1-λ \end{pmatrix}]$$ = (2-λ)*(1-λ)- 0*1 = 2-2λ-λ+λ² = λ² -3λ +2

λ² -3λ +2 = 0 => λ₁ =2 ∧ λ₂ = 1

λ₁ = 2:   $$\begin{pmatrix} 2-2 & 1 \\ 0 & 1-2 \end{pmatrix} =  \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$

λ₂ = 1:   $$\begin{pmatrix} 2-1 & 1 \\ 0 & 1-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$

x1 =$$ \begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix}X\begin{pmatrix} 0\\-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\0 \end{pmatrix}$$

x2 = $$ \begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix}X\begin{pmatrix} 0\\0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\0 \end{pmatrix}$$

Comments

Ist es eine Frage aus einem Buch und wenn ja welches ?

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Ne aus einer Testklausur. Zur Auswahl standen:

$$a) \begin{pmatrix} 2\\1 \end{pmatrix} b)\begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix} c)\begin{pmatrix} 2\\-2 \end{pmatrix}$$

Answer 1

Laut Definition Eigenvektor ist \(\begin{pmatrix} v_1\\v_2\end{pmatrix}\) ein Eigenvektor von \(A\) zum Eigenwert 2, wenn

      \(\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} v_1\\v_2\end{pmatrix} = 2\cdot \begin{pmatrix} v_1\\v_2\end{pmatrix}\)

ist. Löse diese Gleichung.

Comments

(2*v1+1*v2|1*v2) = 2*(v1|v2)

Answer 2

In beiden fällen bleibt nur die erste Zeile,

\(\small \left(\begin{array}{rrrr}\lambda=&1&\left(\begin{array}{rr}1&1\\0&0\\\end{array}\right)&\left(\begin{array}{r}x1\\x2\\\end{array}\right) = 0\\\lambda=&2&\left(\begin{array}{rr}0&1\\0&-1\\\end{array}\right)&\left(\begin{array}{r}x1\\x2\\\end{array}\right) = 0\\\end{array}\right)\)

λ=1: x1=-x2, x2 beliebig (=1) ===> EV1=(-1,1)

λ=2: x2=0, x1 beliebig (=1) ===> EV1=(1,0)

siehe https://www.geogebra.org/m/upUZg79r

A:= {{2, 1}, {0,1}}