Zeigen Sie γA(λ) = γA ^-1(λ^-1) und µA(λ) = µA^−1 (λ^-1)

Question

Aufgabe:

Sei K ein Körper, n ∈ ℕ mit n > 0 und A ∈ Mat(n x n, K) eine invertierbare Matrix. Zeigen Sie

1. Es gilt γ_A(λ) = γ_A^-1(λ^-1)

2. Es gilt µ_A(λ) = µ_A⁻¹(λ^-1).

Problem/Ansatz:

Ich habe leider absolut keine Idee wie ich das zeigen soll.

Comments

Was sind γ_A und µ_A?

Soll das γ_A(λ) = γ_A ^-1(λ^-1) bzw. µ_A(λ) = µ_A ^-1(λ^-1) heißen?

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Ja genau, das soll es heißen

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Und die erste Frage?

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Ich bin mir nicht ganz sicher, aber ich meine es sind Eigenwerte von A, oder?

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Ich bin mir nicht ganz sicher

Schau in deinen Unterlagen nach.

Erster Schritt bei der Bearbeitung jeder mathematischen Aufgabe ist immer, Notation und Fachbegriffe zu klären.

es sind Eigenwerte von A

Eher nicht.

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Ja, es ist nur schwer das im Skript zu finden wenn man nicht weiß was es ist und wo man suchen muss. Ich hab jetzt nochmal nachgeschaut, ich weiß nicht ob es richtig ist, aber handelt es sich vielleicht um Vielfachheiten?

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handelt es sich vielleicht um Vielfachheiten?

Ich weiß nicht, worum es sich handelt. Deshalb habe ich gefragt.

Ich könnte mir aber gut vorstellen, dass die geometrische Vielfachheit des Eigenwerts λ von A gleich der geometrischen Vielfachheit des Eigenwerts λ^-1 von A^-1 ist.

Das wäre dann aber

        γ_A(λ) = γ_A^-1(λ^-1)

und nicht γ_A(λ) = γ_A^-1(λ^-1).

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Also auf dem Blatt ist das ^ -1 jeweils auf das A bezogen. Also die Variante, dass die geometrische Vielfachheit des Eigenwerts λ von A gleich der geometrischen Vielfachheit des Eigenwertes λ^-1 von A^-1 .

Tut mir leid für die Verwirrung, aber ich bin erst im 1. Semester und somit ist das alles ziemlich neu für mich. Im Skript habe ich es nicht entdeckt weil wir da gar nichts zur geometrischen Vielfachheit oder so stehen haben. Mir fällt es auch momentan ziemlich schwer die Aufgaben richtig zu verstehen und da mit einem richtigen Ansatz ranzugehen.

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Vom Duplikat:

Titel: Zeigen Sie:Sei K ein Körper, n ∈ N mit n > 0 und A ∈ Mat(n × n, K) eine invertierbare Matrix

Stichworte: körper

Aufgabe:

Sei K ein Körper, n ∈ N mit n > 0 und A ∈ Mat(n × n, K) eine invertierbare Matrix

Problem/Ansatz:

Zeigen Sie:
(a) Ist λ ein Eigenwert von A, so ist λ^−1ein Eigenwert von A^−1
(b) Es gilt γA(λ) = γA^−1 *(λ^−1).
(c) Es gilt µA(λ) = µA−1 (λ−1).

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Vom Duplikat:

Titel: Zeigen Sie: (a) Ist λ ein Eigenwert von A, so ist λ −1 ein Eigenwert von A−1 .

Stichworte: matrix

Sei \( K \) ein Körper, \( n \in \mathbb{N} \) mit \( n>0 \) und \( A \in \operatorname{Mat}(n \times n, K) \) eine invertierbare Matrix.

Zeigen Sie:

(a) Ist \( \lambda \) ein Eigenwert von \( A \), so ist \( \lambda^{-1} \) ein Eigenwert von \( A^{-1} \).

(b) Es gilt \( \gamma_{A}(\lambda)=\gamma_{A^{-1}}\left(\lambda^{-1}\right) \).

(c) Es gilt \( \mu_{A}(\lambda)=\mu_{A^{-1}}\left(\lambda^{-1}\right) \)

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Vom Duplikat:

Titel: Sei K ein Körper, n ∈ ℕ mit n > 0 und A ∈ Mat(n x n, K) eine invertierbare Matrix. Zeigen Sie...

Stichworte: matrizen,eigenwerte,eigenvektoren

Aufgabe:

Sei K ein Körper, n ∈ ℕ mit n > 0 und A ∈ Mat(n x n, K) eine invertierbare Matrix. Zeigen Sie:

Es gilt µA(λ) = µ_A-1(λ^-1).

Problem/Ansatz:

Ich weiß nicht wie ich das zeigen soll. Kann mir bitte jemand weiterhelfen?

Answer 1

weil wir da gar nichts zur geometrischen Vielfachheit oder so stehen haben.

Die geometrische Vielfachheit eines Eigenwertes ist die Dimension des zugehörigen Eigenraums.

Die algebraische Vielfachheit eines Eigenwertes ist die Vielfachheit der entsprechenden Nullstelle des charakteristischen Polynoms.

dass die geometrische Vielfachheit des Eigenwerts λ von A gleich der geometrischen Vielfachheit des Eigenwerts λ^-1 von A^-1 ist.

Sei \(v\) ein Eigenvektor von \(A\) zum Eigenwert \(\lambda\). Dann ist \(v\) wegen

        \(\begin{aligned} &  & Av & =\lambda v\\ & \iff & A^{-1}Av & =A^{-1}\lambda v\\ & \iff & v & =\lambda A^{-1}v\\ & \iff & \lambda^{-1}v & =\lambda^{-1}\lambda A^{-1}v\\ & \iff & \lambda^{-1}v & =A^{-1}v \end{aligned}\)

auch ein Eigenvektor von \(A^{-1}\) zum Eigenwert \(\lambda^{-1}\).

Also sind die Eigenräume von \(A\) und \(A^{-1}\) identisch und somit auch die geometrischen Vielfachheiten.

Comments

2. Es gilt μ_A(λ) = μ_A -1 (λ^-1 )

Hier ist es die algebraische Vielfalt?

Wie zeige ich das dann?

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\(\begin{aligned} & \det\left(A^{-1}-\lambda^{-1}E\right)\\ = & \frac{1}{\det\left(-\lambda A\right)}\cdot\det\left(-\lambda A\right)\cdot\det\left(A^{-1}-\lambda^{-1}E\right)\\ = & \frac{1}{\det\left(-\lambda A\right)}\cdot\det\left(-\lambda A\left(A^{-1}-\lambda^{-1}E\right)\right)\\ = & \frac{1}{\det\left(-\lambda A\right)}\cdot\det\left(A-\lambda E\right) \end{aligned}\)

Wegen \(\frac{1}{\det\left(-\lambda A\right)}\neq 0\) haben die charakteristischen Polynome von \(A\) und \(A^{-1}\) die gleichen Nullstellen mit gleichen Vielfachheiten.

Answer 2

Guckst du hier: https://www.mathelounge.de/860416/zeigen-sie-a-a-1-1-und-a-a-1-1

Und sag bitte deinem Kollegen bescheid, wo im Skript definiert ist, was \( \gamma_{A}(\lambda)\) und was \( \mu_{A}(\lambda)\) ist.