Aufgabe zur Integration: Wasser wird durch ein Kanalrohr in ein Becken gepumpt bzw. bei Bedarf aus dem Becken gesaugt.

Question

hab ein Problem bezüglich der Integralrechnung. Ich weiß ganz einfach nicht, wie ich die Fläche unter dem Graphen rechnen soll, wenn keine Funktion gegeben ist. Meine Ansatz wäre den Graphen in kleinere Teile zu zerlegen - dort die Steigung und damit die Gleichung dieses Abschnittes und Teil für Teil die Fläche auszurechnen - leider weiß ich nicht ob das so klappt und ob es nicht eine schnellere Methode gibt

Bei der 2. Aufgabe (12.24) hab ich ein ähnliches Problem und komme auch nicht weiter

für eure Hilfe !

Aufgabe 12.23:

Wasser wird durch ein Kanalrohr in ein Becken gepumpt bzw. bei Bedarf aus dem Becken gesaugt. Die Strömungsstärke s(t) (in Liter/min) in dem Kanalrohr ist durch den nebenstehenden Graphen der Funktion s gegeben.

Aufgabenstellung: Wie viel Liter Wasser befinden sich nach 60 Minuten in dem Becken, wenn dieses zu Beginn leer ist?

 

Aufgabe 12.24:

Gegeben ist der Graph einer abschnittweise definierten Funktion f.

Aufgabenstellung: Ermitteln sie ahnand des Funktionsgraphen von f die Zahl -->     (Grenze: -2; 3)   ∫ f(x) * dx

 

Answer 1

Hallo peter94,

 

Dein Ansatz ist ganz richtig: Unterteilen und dann die Einzelflächen addieren bzw. subtrahieren.

Und wenn man so schön unkomplizierte Funktionen hast wie Du in den beiden Beispielen, ist es auch einfach, die Flächen zu berechnen:

 

Aufgabe 12.23

Bis zur 20. Minute hast Du ein Dreieck mit der Höhe 200, also der Fläche 20 * 200 / 2 = 2000

Minute 20 bis 25: Dreieck mit der Fläche 5 * 200 / 2 = 500

Also sind nach 25 Minuten 2500 Liter im Becken.

Minute 25 - 35: Dreieck mit der Fläche 10 * (-200) / 2 = -1000

Es fließen in dieser Zeit also wieder 1000 Liter ab.

Minute 35 - 60: Trapez mit der Fläche Höhe * Durchschnittliche Breite = 200 * (25 + 10)/2 = 200 * 17,5 = 3500

Nach 60 Minuten sind also insgesamt 2000 + 500 -1000 + 3500 = 5000 Liter im Becken.

 

Aufgabe 12.24 analog

Wahrscheinlich soll auch hier die "negative" Fläche in den Grenzen von 2 bis 3 von der Fläche in den Grenzen von -2 bis 2 subtrahiert werden.

 

Besten Gruß

Comments

Flächen unterhalb der x-Achse werden beim Integrieren automatisch subtrahiert. Wenn du mit Dreiecksflächen rechnest (was hier ja das einfachste ist) musst du die Vorzeichen selbst noch unter Kontrolle haben, was hier offensichtlich kein Problem ist.

Answer 2

Aufgabe 12.24:

Gegeben ist der Graph einer abschnittweise definierten Funktion f.

Aufgabenstellung: Ermitteln sie ahnand des Funktionsgraphen von f die Zahl -->     (Grenze: -2; 3)   ∫ f(x) * dx

Du kannst doch sicher noch Gleichungen von linearen Funktionen bestimmen (?) Vgl. Video, das ich dir nachher noch angebe. 

f(x) =  -x+1  für x von -2 bis -1

f(x) = 2 für x von -1 bis 1

f(x) = -2x + 4 für x von 1 bis 3

Danach teilst du dein Integral auf:

(Grenze: -2; 3)   ∫ f(x) * dx = (Grenze: -2; -1)   ∫ -x + 1  dx + (Grenze: -1; 1)   ∫ 2 dx + (Grenze: 1; 3)   ∫ -2x + 4 dx

= -1/2 x^2 + x (Grenze: -2; -1)  + 2x (Grenze: -1; 1) + (-x^2 + 4x)  (Grenze: 1; 3)  

= (-1/2 -1)-(-2-2) + (2 -(-2)) + ((-9 + 12)-(-1+4))

= 6.5

Ergibt die gemäss Skizze zur erwartende Fläche von 6.5 Häuschen. 

Hier noch das versprochene Material und Video zu linearen Funktionsgleichungen: https://www.matheretter.de/kurse/fkt/linear-nf

Comments

danke vielmals - wollte es auch eig. so machen nur hab ich nicht erkannt das man bei 12.24 in 3 lineare Gleichungen teilen kann und das man den Graph verlängern muss um den Schnittpunkt mit der y-Achse zu bekommen. Das video war eine gute Wiederholung :)