Begründen Sie durch Angabe des Rechenwegs.

Question

Aufgabe:

Gegeben ist das lineare Gleichungssystem
$$ \begin{aligned} 5 x_{1}+3 x_{2} &=3 \\ 7 x_{1}-x_{2}+x_{3} &=a \\ x_{1} &+x_{3}=7 \end{aligned} $$
mit \( a \in \mathbb{R} \)
(i) Wahr oder falsch? \( x=(0,1,7)^{t} \) ist eine Lösung des linearen Gleichungssystems für \( a=6 \). Begründen Sie durch Angabe des Rechenwegs.
(ii) Geben Sie für jedes \( a \in \mathbb{R} \) an, wie viele Lösungen das Lineare Gleichungssystem besitzt. Begründen Sie durch Angabe des Rechenwegs.

Answer 1

1) 5*0+3*1= 3 (wahr)

7*0- 1+7= 6 (wahr)

0+7= 7 (wahr)

-> a=6 ist Lösung

2)

Sei x=x1, y=x2, z=x3

x= 7-z

y = (3-5x)/3 =1-5/3*x = 1-5/3*(7-z) = 1-35/3+5/3*z = 5/3*z-32/3

-> 7(7-z)-5/3z+32/3+z=a

49-7z-5/3*z+32/3+z= a

a= -6z+58

Answer 2

(i) Setze \(x_1=0\), \(x_2=1\) und \(x_3=7\) in alle drei Gleichungen ein und überprüfe, ob sie alle erfüllt sind.

(ii) Eine Möglichkeit:
Es ist \(7x_1-x_2+x_3=a \Rightarrow x_2=(x_1+x_3)+6x_1-a = 7 + 6x_1-a\) mithilfe der 2. und 3. Gleichung.
Einsetzen in die erste Gleichung liefert \(x_1=-\frac{18}{23} + \frac{3}{23}a\).
Damit folgt dann \(x_2=\frac{53}{23}-\frac{5}{23}a\).
Letztlich ergibt sich \(x_3=7-x_1=\frac{179}{23}-\frac{3}{23}a\).

Offenbar gibt es für jedes \(a\in \mathbb{R}\) eine eindeutige Lösung.