Wie kann ich Var(aX+Y) umformen?

Question

ich habe eine Frage zur Lineartransformation der Varianz.

Wie kann ich Var(aX+Y) umformen? Wobei X und Y voneinander abhängige Zufallsvariablen sind.

Wäre a² Var(X)+Var(Y)+2Cov(X,Y) richtig?

Vielen Dank im Voraus.

Answer 1

Aloha :)

Die Kovarianz ist eine Biliniearform, d.h. sie ist linear in ihren beiden Komponenten:

$$\operatorname{Var}(aX+Y)=\operatorname{Cov}(aX+Y\;;\;aX+Y)$$$$\phantom{\operatorname{Var}(aX+Y)}=\operatorname{Cov}(aX;aX)+\operatorname{Cov}(Y;aX)+\operatorname{Cov}(aX;Y)+\operatorname{Cov}(Y;Y)$$$$\phantom{\operatorname{Var}(aX+Y)}=a^2 \operatorname{Cov}(X;X)+a \operatorname{Cov}(Y;X)+a \operatorname{Cov}(X;Y)+\operatorname{Cov}(Y;Y)$$$$\phantom{\operatorname{Var}(aX+Y)}=a^2 \operatorname{Var}(X)+2a \operatorname{Cov}(X;Y)+\operatorname{Var}(Y)$$

Deine Lösung ist also korrekt\(\quad\checkmark\)