Warum ist die funktion nicht diffbar

Question

Aufgabe:

Eine funktion R -> R mit f(x) = | x| ³ ist nur 2 mal diffbar warum nicht 3 mal

Problem/Ansatz:

Die zweite ableitung wäre ja 6|x| warum ist dies nicht mehr differenzierbar. dürfte ich argumentieren das die zweite ableitung nicht mehr stetig ist und deshalb nicht diffbar

Comments

Die zweite Ableitung 6|x| ist sehr wohl stetig. Wo siehst du dort Unstetigkeitsstellen?

Aber |x| ist für x = 0 nicht differenzierbar. Deshalb kannst du 6|x| nicht überall ableiten und somit die Funktion f nur 2 mal differenzieren.

Für die Ableitung in 0 untersuche folgenden Term:

$$ \frac{|h| - |0|}{h} = \frac{|h|}{h} $$

Wenn du jetzt z.B. von oben gegen 0 gehst (h> 0). Dann ist \( \frac{|h|}{h}  = 1 \). Das heißt der Grenzwert von oben ist gerade =1.

Wenn du aber von unten auf 0 zugehst (h < 0) ist \( \frac{|h|}{h}  = -1 \). Konvergiert also gegen -1. Und das darf nicht sein. Der Term muss für beliebige Nullfolgen \( h \to 0 \) gegen denselben Grenzwert konvergieren, sonst ist der Limes unbestimmt und die Funktion folglich auch nicht differenzierbar.

Answer 1

dürfte ich argumentieren das die zweite ableitung nicht mehr stetig ist

Grundsätzlich ja. Eine Funktion, die nicht stetig ist, ist nicht differenzierbar.

Problem ist aber, dass die zweite Ableitung stetig ist. Du musst dir also eine andere Begründung ausdenken.

Eine solche Begründung wäre, dass wenn 6|x| differenzierbar ist, auch 1/6 · 6|x| differenzierbar ist, aber 1/6 · 6|x| = |x| ist bekanntermaßen nicht differenzierbar.