Wahrscheinlichkeiten mit Multiplikations- und Additionssatz berechnen

Question

Von drei paarweise unabhängige Ereignissen A, B und C seien die Wahrscheinlichkeiten

P(A) = 0.25

P(B) = 0.35

P(C) = 0.5

bekannt. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit vom Ereignis (A∩B)∪(A∩C).

Ich habe es zuerst umgeformt in: (B∪C)∩A und folgendermaßen berechnet:

P((B∪C)∩A) = (P(B) + P(C) - (P(B∩C))*P(A) = (0.35 + 0.5 - (0.35*0.5)) * 0.25 = 0.1687..

Mein Kollege hat die Aufgabe aber ohne Umformung berechnet und kommt auf 0.2015...

Wer hat Recht?

Answer 1

Hallo,

es gilt mit dem Additionssatz:$$P((A\cap B)\cup (A\cap C))=P(A\cap B)+P(A\cap C)-P((A\cap B)\cap (A\cap C))$$ und wegen der (paarweisen) Unabhängigkeit der Ereignisse:$$\begin{aligned}P((A\cap B)\cup (A\cap C))&=P(A)P(B)+P(A)P(C)-P(A\cap B\cap C) \\ &\overset{(*)}=P(A)P(C)+P(B)P(C)-P(A)P(B)P(C) \end{aligned}$$ Addendum: Der mit Stern \((*)\) markierte Schritt ist falsch. (vgl. @Mathehilf "wenn 3 Ereignisse paarweise unabhängig sind, folgt nicht, dass sie gemeinsam unabhängig sind." und @Trashcan "[...] die Aufgabe ist so nicht eindeutig lösbar [..]").

Man kann auch hier schauen, ein ausführliches Beispiel.

Diskussion erfolgt unterhalb dieser Antwort mit Uneindeutigkeitsbeispiel von Trashcan.

Comments

Danke für die schnelle Rückmeldung! Ich verstehe aber leider nicht, warum meine Lösung nicht richtig ist.

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Hallo,

wenn 3 Ereignisse paarweise unabhängig sind, folgt nicht, dass sie gemeinsam unabhängig sind.

Gruß Mathhilf

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Ach! Verstehe, danke schön!

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Die Antwort ist also: Beide Antworten sind falsch, die Aufgabe ist so nicht eindeutig lösbar, korrekt?

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Genau, beide Antworten waren falsch, aber es ist lösbar:

Text erkannt:

\( \begin{aligned} &P(A \cap C) \cup(B \cap C))=\\ & P(A \cap C)+P(B \cap C)-(P(A \cap C) \cap P(B \cap C))=\\ \text { UndO }^{\prime}=& P(A) \cdot P(C)+P(B) P(C)-P(A \cap B \cap C)=\\=& P(A) \cdot P(C)+P(B) P(C)-P(A) \cdot P(B) \cdot P(C)=\\=& 0.25 \cdot 0.5+0.35 \cdot 0.5-0.25 \cdot 0.35 \cdot 0.5=0.25625 \end{aligned} \)

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Mathhilf hat doch gerade geschrieben, dass die paarweise Unabhängigkeit nicht die Unabhägigkeit aller drei Variablen nach sich zieht, also

\(P(A\cap B\cap C) \neq P(A)\cdot P(B) \cdot P(C)\)

Ziemlich sicher, dass es nicht lösbar ist und ich zwei Bsp. gefunden habe, die die Ausgangsbedingungen erfüllen aber unterschiedliche Ergebnisse liefern.

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Hallo,

schaut mal hier:

https://de.wikipedia.org/wiki/Stochastisch_unabh%C3%A4ngige_Ereignisse#Beispiel_2

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Soll das deine Rechnung bestätigen? Oder wolltest du noch ein ausführliches Beispiel dazu geben, was Mathhilf und ich gesagt haben? :)

Du hast übrigens die Aufgabe nicht korrekt übernommen und pacogos, du hast die Aufgabe von racine dann auch falsch übernommen. Wenn du obigen Rechenweg auf deine ursprünglich gepostete Frage anwendest, kommst du auf die gleichen 0,16875 wie mit deinem ersten Versuch, was das Ergebnis aber nicht richtiger macht.

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Oder wolltest du noch ein ausführliches Beispiel dazu geben, was Mathhilf und ich gesagt haben? :)

Ja, ich habe das gerade gefunden, gibt einen großen Abschnitt dazu und sogar ein Beispiel von Bernstein himself.

Du hast übrigens die Aufgabe nicht korrekt übernommen

Ups

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Stimmt :D

Also es ist nicht lösbar?

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Hier sind meine Beispiele mit unterschiedlichen Lösungen - also nicht eindeutig lösbar. Das Zufallsexperiment ist die zufällige Auswahl eines Kästchens, die Ereignisse die entsprechenden farbigen Bereiche. Die WHK. von B habe ich der einfacherhalber in 1/3 geändert (und die Namen der Ereignisse durcheinander gewürfelt), dürft denke ich aber keine Auswirkung auf die Allgemeingültigkeit haben.

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Ich habe meine Antwort editiert und auf die Kommentardiskussion unter ihr verwiesen.

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Danke euch für Eure Mühe :)