Produktzeichen korrekte Umformungen

Question

Kann jemand den unteren Ausdruck so umformen wie der obere Ausdruck umgeformt wurde?

\( c \cdot \prod \limits_{\ell=0}^{n-1}(l+1)=c \cdot n ! \)

\( c \cdot \prod \limits_{l=0}^{n-1}\left(4+\frac{4}{l}\right)=  ??? \)

Gibt es da eine Faustregel, wie man Produktzeichen umformen kann?

Answer 1

Du darfst doch bereits die erste Zahl l = 0 gar nicht für l einsetzen. Also ist der Ausdruck so überhaupt nicht erlaubt.

Fällt dir sowas nicht auf. Also wenn du nicht weißt wie man dort vorgeht würde man doch das Produkt erstmal für einfache Werte von n aufschreiben. Dann sollte dir sowas aber auffallen.

Ansonsten könnte man auch Wolframalpha fragen. Hier lasse ich l mal erst von 1 an zählen

\( \prod \limits_{l=1}^{n}\left(\frac{4}{l}+4\right)=4^{n}(n+1) \)

Answer 2

1.c als Faktor kann man vorziehen

Der ersten Faktoren lauten: 1, 2, 3,4 ... -> 1*2*3*4*... = n!

2. erste Faktoren: 8/1, 12/2, 16/3, 20/4, 24/5, 28/6, 32/7, 36/8 ...

l= 0 ist nicht definiert!

Im Nenner steht wieder n!, im Zähler die Vielfachen von 4 beginnend mit 8

Answer 3

Aloha :)

Ich lasse den Vorfaktor \(c\) weg und korrigiere die untere Grenze der Multiplikation von \(\ell=0\) auf \(\ell=1\), weil man ja durch \(0\) nicht dividieren kann. Dann ist:

$$\phantom{=}\prod\limits_{\ell=1}^{n-1}\left(4+\frac4\ell\right)=\prod\limits_{\ell=1}^{n-1}\left(\frac{4\ell+4}{\ell}\right)=\prod\limits_{\ell=1}^{n-1}\left(4\cdot\frac{\ell+1}{\ell}\right)=\left(\prod\limits_{\ell=1}^{n-1}4\right)\cdot\frac{\prod\limits_{\ell=1}^{n-1}\left(\ell+1\right)}{\prod\limits_{\ell=1}^{n-1}\ell}$$$$=4^{n-1}\cdot\frac{\prod\limits_{\ell=2}^{n}\ell}{\prod\limits_{\ell=1}^{n-1}\ell}=4^{n-1}\cdot\frac{n\cdot\prod\limits_{\ell=2}^{n-1}\ell}{1\cdot\prod\limits_{\ell=2}^{n-1}\ell}=n\cdot4^{n-1}$$