Ich nehme an, es handelt sich um die Abbildungen \(\varphi_A: \ \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m, \ x\mapsto Ax\) und entsprechend \(\varphi_{A^T}: \ \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}^n, \ x\mapsto A^T x\).
Sei \(x\in (\operatorname{im} A^T)^{\bot}=\{v\in \mathbb{R}^n| \ \forall w\in \operatorname{im} A^T: \ \langle v,w \rangle = 0\}\).
Sei weiter \(A=(a_1,...,a_m)^T\) mit Zeilenvektoren \(a_1,...,a_m\in \mathbb{R}^n\).
Offenbar gilt \(\varphi_{A^T}(e_i) = a_i\) für alle \(i\in \{1,...,m\}\) und kanonischen Einheitsvektoren \(e_i\in \mathbb{R}^m\).
Damit folgt \(a_1,...,a_m\in \operatorname{im} \varphi_{A^T} = \operatorname{im} A^T\).
Dann gilt \(\varphi_A(x) = Ax = \begin{pmatrix} \langle a_1,x\rangle \\ \vdots \\ \langle a_m,x\rangle \end{pmatrix} \overset{Vorr.}{=} \begin{pmatrix} 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}\), also \(x\in \operatorname{ker}(A)\).
Sei nun \(x\in \operatorname{ker}(A)\). Dann folgt \(0_{\mathbb{R}^m} = \varphi_A(x) = Ax\).
Zu jedem \(w\in \operatorname{im} A^T\) existiert ein \(v\in \mathbb{R}^m\) mit \(w=A^Tv\).
Dann folgt \(\langle w,x \rangle = \langle A^Tv, x \rangle =(A^T v)^Tx = (v^TA)x = v^T(Ax)= \langle v, Ax \rangle = \langle v, 0_{\mathbb{R}^m} \rangle = 0\).
Damit folgt \(x\in (\operatorname{im} A^T)^{\bot}\).
Insgesamt folgt also \((\operatorname{im} A^T)^{\bot} = \operatorname{ker}(A)\).
