Ableitungen von Ln und Wurzel

Question

Aufgabe:

Ableitungen bilden von:

\( f_{1}(x)=\ln \left(\sqrt{\frac{4-\cos ^{2} x}{2+\cos x}}\right), \quad f_{2}(x)=\ln \left(\sqrt{\frac{2-\sin x}{2+\sin x}}\right) \)

Muss nach ableiten und vorher nach den Ln Regel umformen falls möglich.

Answer 1

Umformen gibt z.B.

f1(x)=0,5*( ln(4-cos^2(x)) - ln(2+cos(x)) )

also f1 ' (x) = 0,5*(  -2cos(x)sin(x) / (4-cos(xX)^2 )  + sin(x) / ( 2+cos(x))  )

Answer 2

Mach aus der Wurzel eine Potenz.

Answer 3

Hallo

ln(a/b)=lna-lnb

also f1=ln(\( \sqrt{4-cos^2(x)} \)-ln(\( \sqrt{2+cos(x)} \)

nach Kettenregel ableiten

f'=1/(\( \sqrt{4-cos^2(x)} \))* (2cos(x)*sin(x) - 1/(\( \sqrt{2+cos(x)} \))*( -sin(x))

f2 entsprechend

Gruß lul

Answer 4

\( f_{2}(x)=\ln \left(\sqrt{\frac{2-\sin x}{2+\sin x}}\right) \)

\( f_{2} \cdot(x)=\frac{1}{\sqrt{\frac{2-\sin x}{2+\sin x}}} \cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{\frac{2-\sin x}{2+\sin x}}} \cdot \frac{(-\cos x) \cdot(2+\sin x)-(2-\sin x) \cdot \cos x}{(2+\sin x)^{2}} \)

\( f_{2} \cdot(x)=\frac{1}{\sqrt{\frac{2-\sin x}{2+\sin x}}} \cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{\frac{2-\sin x}{2+\sin x}}} \cdot \frac{-2 \cos x-\sin x \cdot \cos x-2 \cos x+\sin x \cdot \cos x}{(2+\sin x)^{2}} \)

\( f_{2} \cdot(x)=\frac{1}{\sqrt{\frac{2-\sin x}{2+\sin x}}} \cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{\frac{2-\sin x}{2+\sin x}}} \cdot \frac{-4 \cos x}{(2+\sin x)^{2}}=-\frac{1}{\sqrt{\frac{2-\sin x}{2+\sin x}}} \cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{\frac{2-\sin x}{2+\sin x}}} \cdot \frac{4 \cos x}{(2+\sin x)^{2}} \)

\( =-\frac{1}{2 \cdot \frac{2-\sin x}{2+\sin x}} \cdot \frac{4 \cos x}{(2+\sin x)^{2}}=-\frac{1}{(2-\sin x)} \cdot \frac{2 \cos x}{2+\sin x}=-\frac{2 \cos x}{4-\sin ^{2} x}=\frac{2 \cos x}{\sin ^{2} x-4} \)

Answer 5

Es gilt:

f(x) = ln(g(x)) -> f '(x) = g'(x)/g(x)