Absoluter Fehler Standardabweichung

Question

Gegeben ind 3 Messwerte: \(x_i=1,2,3\) mit den Messfehlern \(\Delta x = 0,1\). Nun soll der Mittelwert und die Standardabweichung berechnet werden. Hierfür erhalte ich mit

$$\bar x = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N x_i = 2 \qquad \text{und} \qquad \sigma=\sqrt{\frac{1}{N-1}\sum_{i=1}^N (x_i-\bar x)^2}=1$$.

Als nächstes soll nun der maximale absolute Fehler von \(\bar x\) und \(\sigma\) berechnet werden. Für \(\bar x\) erhalte ich

$$\Delta \bar x_{max}=\sum_{i=1}^3 |\frac{\partial \bar x}{\partial x_i}\Delta x|=|\frac{1}{3}\cdot 0,1| \cdot 3=0,1$$.

Für den absoluten Fehler der Standardabweichung erhalt ich jedoch ein anderes Ergebnis als das in der Musterlösung.

$$\frac{\partial \sigma}{\partial x_1}=\frac{1}{2}\left[ \frac{1}{N-1}\left((x_1-\bar x)^2+(x_2-\bar x)^2+(x_3-\bar x)^2\right)\right]\cdot \frac{2 (x_i-\bar x)}{N-1}= \frac{-1}{2}$$

$$\frac{\partial \sigma}{\partial x_2}= 0$$

$$\frac{\partial \sigma}{\partial x_3}=\frac{1}{2}$$

$$\Delta \sigma_{max}=\big|-\frac{1}{2}\cdot 0,1\big|+\big|\frac{1}{2}\cdot 0,1\big|=0,1$$

Laut Musterlösung soll hier jedoch der Wert \(0,4\) sein.

Ich wäre über Hilfe dankbar! :-)

Answer 1

Hallo Sora, du hast leider falsch abgeleitet. Korrekt ist:

Text erkannt:

\( \sigma=\sqrt{\frac{1}{N-1}\left[\left(x_{1}-\bar{x}\right)^{1}+\ldots\right]} \)
\( \frac{\partial \pi}{\partial x}=\frac{1}{2 \cdot \sqrt{\frac{1}{N-1}\left[(x,-\bar{x})^{2}+\ldots\right]}} \cdot \)
\( \cdot \frac{1}{N-1} 2(x,-\bar{x}) \)

Comments

Du schreibst, du wärst für Hilfe dankbar. Aber du meldest dich 2 Tage nicht, dann hat es sich wohl erledigt.