Question

Aufgabe: Handelt es sich bei dieser Relation um eine Äquivalenzrelation?

x≅y: <=> x³ - y³ = x³ - y³ 

Problem/Ansatz: Habe ich diese Aufgabe so richtig gelöst?

reflexiv: Sei x € Z. Dann gilt x³ - x³ = 0 = 3x - 3x € Z. Also x≅x.

symmetrisch: Seien x,y € Z. mit x≅y. Dann gilt: y³ - x³ = - (x³ - y³) = - (3x - 3y) = 3y - 3x => y≅x

transitiv: Seien x,y,z € Z mit x≅y und y≅z., d.h. x³-y³ = 3x - 3y € Z und y³ - z³ = 3y - 3z € Z.

Dann gilt: x³-z³ = (x³-y³) + (y³-z³) = (3x - 3y) + (3y - 3z) = 3x - 3z => x≅z.

Comments

Hi, ich habe in der Tat einen Tippfehler in der Aufgabe. Sie sollte korrekt lauten:

x≅y: <=> x³ - y³ = 3x - 3y

Answer 1

Ja, so hast du das richtig gemacht :-)

Ich möchte an dieser Stelle auf einen häufig vorliegenden Hintergrund
aufmerksam machen: viele Äquivalenzen beruhen auf der Gleichheit von
Funkionswerten, so auch hier:

Sei $f:Z\rightarrow Z,\; f(z)=z^3-3z$.
Dann ist
$x\sim y\iff x^3-y^3=3x-3y\iff x^3-3x=y^3-3y\iff f(x)=f(y)$.

Reflexivität bedeutet also $f(x)=f(x)$ für alle $x\in Z$,
Symmetrie bedeutet $f(x)=f(y)\Rightarrow f(y)=f(x)$.
Transitivität bedeutet $f(x)=f(y)\wedge f(y)=f(z)\Rightarrow f(x)=f(z)$.

Diese drei Eigenschaften beruhen darauf, dass "$=$" eine Äquivalenzrelation ist.
Wenn also eine Relation durch Gleichheit von Funktionswerten definiert ist,
ist sie trivialerweise eine Äquivalenzrelation.

Gruß ermanus

Answer 2

Ja, sieht gut aus. Es wird noch offensichtlicher, wenn
man schreibt   x≅y: <=> x³ - 3x =  y³ - 3y